ចំនួនកុំផ្លិច

ចំនួនកុំផ្លិច៖ គឺជាចំនួនដែលមានទម្រង់ ${\displaystyle a+bi\,}$ ដែល ${\displaystyle a\,}$ និង ${\displaystyle b\,}$ជាចំនួនពិត និង ${\displaystyle i\,}$ជាឯកតានិមិ្មត (${\displaystyle i={\sqrt {\color {Red}-1}},\quad i^{2}=-1}$)។

និយមន័យ

• ឯកតានិមិ្មត ${\displaystyle i={\sqrt {\color {Red}-1}},\quad i^{2}=-1}$

${\displaystyle Z=a+bi.\,}$

a ជាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Real Part)

b ជាផ្នែកនិម្មិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Imaginary part)

ប្រមាណវិធី

${\displaystyle i={\sqrt {\color {Red}-1}},\quad i^{2}=-1}$៖

• ផលបូក: ${\displaystyle \,(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}$
• ផលដក: ${\displaystyle \,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}$
• ផលគុណ: ${\displaystyle \,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i}$
• ផលចែក: ${\displaystyle \,{\frac {(a+bi)}{(c+di)}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i\,}$

ប្លង់កុំផ្លិច

លក្ខណៈធរណីមាត្រនៃ${\displaystyle z}$ និងចំលាស់របស់វា${\displaystyle {\bar {z}}}$ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

តំលៃដាច់ខាតនៃចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់

${\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}}$

${\displaystyle {\overline {z\cdot w}}={\bar {z}}\cdot {\bar {w}}}$

${\displaystyle {\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}}$

${\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z}$

${\displaystyle {\bar {z}}=z}$   ប្រសិនបើ z ជាចំនួនពិតសុទ្ធ

${\displaystyle {\bar {z}}=-z}$   ប្រសិនបើ z ជាចំនួននិម្មិតសុទ្ធ

${\displaystyle |z|=|{\bar {z}}|}$

${\displaystyle |z|^{2}=z\cdot {\bar {z}}}$

${\displaystyle z^{-1}={\bar {z}}\cdot |z|^{-2}}$   ប្រសិនបើ z ខុសពីសូន្យ

ប្រភាគនៃចំនួនកុំផ្លិច

${\displaystyle {\begin{aligned}{a+bi \over c+di}&={(a+bi)(c-di) \over (c+di)(c-di)}={(ac+bd)+(bc-ad)i \over c^{2}+d^{2}}\\&=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+i\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right).\,\end{aligned}}}$

ទម្រង់ប៉ូលែរ

កូអរដោនេប៉ូលែក្នុងតម្រុយដេកាត

${\displaystyle x=r\cos \varphi }$

${\displaystyle y=r\sin \varphi }$

ផ្ទុយមកវិញ

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \varphi =\arg(z)=arctan{\frac {y}{x}}}$

${\displaystyle x+iy=re^{i\varphi }\!}$

ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និង ​ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច

${\displaystyle a+bi=r(cos\alpha +isin\alpha )\!}$, ដែល ${\displaystyle r\!}$ ជាម៉ូឌុលនៃ​ ${\displaystyle a+bi\!}$ ។
${\displaystyle r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\!}$

${\displaystyle cos\alpha ={\frac {a}{r}};sin\alpha ={\frac {b}{r}}\!}$

ទ្រឹស្តីបទ៖

បើគេមានទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកំផ្លិច ${\displaystyle z_{1}\!}$ និង ${\displaystyle z_{2}\!}$ ដែល ${\displaystyle z_{1}=r_{1}(cos\alpha _{1}+isin\alpha _{1})\!}$ និង ${\displaystyle z_{2}=r_{2}(cos\alpha _{2}+isin\alpha _{2})\!}$ គេបាន​

ក)​ ${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}[cos(\alpha _{1}+\alpha _{2})+isin(\alpha _{1}+\alpha _{2})]\!}$

ខ) ${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}[cos(\alpha _{1}-\alpha _{2})+isin(\alpha _{1}-\alpha _{2})]\!}$

ទ្រឹស្តីបទ៖

បើ ${\displaystyle z\!}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន ${\displaystyle |z|^{2}=z\cdot {\bar {z}}\!}$ ។

លក្ខណៈ

គេឲ្យ ${\displaystyle w\!}$ និង ${\displaystyle z\!}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន

ក)​ ${\displaystyle |wz|=|w|\cdot |z|\!}$
ខ) ${\displaystyle |{\frac {w}{z}}|={\frac {|w|}{|z|}};z\neq 0\!}$
គ) ${\displaystyle |w+z|\leq |w|+|z|\!}$

ស្វ័យគុណទី​ n {\displaystyle n\!} ​ នៃចំនួនកុំផ្លិច

គេមាន ${\displaystyle Z=r(cos\alpha +isin\alpha )\!}$ ។

តាមរូបមន្ត ${\displaystyle Z_{1}Z_{2}=r_{1}r_{2}[cos(\alpha _{1}+\alpha _{2})+isin(\alpha _{1}+\alpha _{2})]\!}$

គេបាន ${\displaystyle ZZ=rr[cos(\alpha +\alpha )+isin(\alpha +\alpha )]\!}$

${\displaystyle Z^{2}=r^{2}(cos2\alpha +isin2\alpha )\!}$

${\displaystyle Z^{3}=Z^{2}\cdot Z=(r^{2}\cdot r)[cos(2\alpha +\alpha )+isin(2\alpha +\alpha )]=r^{3}(cos3\alpha +isin3\alpha )\!}$

........................................................................................

${\displaystyle Z^{n}=Z^{n-1}\cdot Z=r^{n}(cosn\alpha +isinn\alpha )\!}$

ជាទូទៅ៖​

${\displaystyle Z^{n}=[r(cos\alpha +isin\alpha )]^{n}=r^{n}(cosn\alpha +isinn\alpha )\!}$ គ្រប់ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} \!}$ គេទាញបាន ${\displaystyle (cos\alpha +isin\alpha )^{n}=(cosn\alpha +isinn\alpha )\!}$ហៅថា ទ្រឹស្តីបទដឺម័រ។

ឧទាហរណ៍​: គណនា​ ${\displaystyle (1+i)^{50}\!}$

តាង ${\displaystyle z=1+i\!}$ គេបាន ${\displaystyle z={\sqrt {2}}(cos{\frac {\pi }{4}}+isin{\frac {\pi }{4}})\!}$
តាមទ្រឹស្តីបទដឺម័រ

${\displaystyle (i+i)^{50}={\sqrt {2}}^{50}[cos(50\cdot {\frac {\pi }{4}})+isin(50\cdot {\frac {\pi }{4}})]=2^{25}(cos{\frac {25\pi }{2}}+isin{\frac {25\pi }{2}})=2^{25}[cos(12\pi +{\frac {\pi }{2}})+isin(12\pi +{\frac {\pi }{2}})]=2^{25}(cos{\frac {\pi }{2}}+isin{\frac {\pi }{2}})\!}$

ដូចនេះ ${\displaystyle (1+i)^{50}=2^{25}i=33554432i\!}$

សូមមើលផងដែរ

• ផ្នែកនិម្មិត
• ផ្នែកពិត
• កុំផ្លិចឆ្លាស់
• ឯកតានិម្មិត