ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺជាវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យា​មួយក្នុងស្វែងរកអត្រាដែលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយធ្វើការផ្លាស់ប្តូរដោយគោរពតាម​អថេរ។ វាក៏ត្រូវបានគេហៅម្យ៉ាងទៀតថាជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតាទូទៅរួមមាន ${\displaystyle \sin(x),\cos(x)\,}$ និង  ${\displaystyle \tan(x)\,}$។

អនុគមន៍	ដេរីវេ
${\displaystyle \sin(x)}$	${\displaystyle \cos(x)}$
${\displaystyle \cos(x)}$	${\displaystyle -\sin(x)}$
${\displaystyle \tan(x)}$	${\displaystyle \sec ^{2}(x)}$
${\displaystyle \cot(x)}$	${\displaystyle -\csc ^{2}(x)}$
${\displaystyle \sec(x)}$	${\displaystyle \sec(x)\tan(x)}$
${\displaystyle \csc(x)}$	${\displaystyle -\csc(x)\cot(x)}$
${\displaystyle \arcsin(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arctan(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}}$

ឧទាហរណ៍៖ ក្នុងគណនា ${\displaystyle f'(x)\,}$ ដោយធ្វើដេរីរេនៃអនុគមន៍ ${\displaystyle f(x)=\sin(x)\,}$ ដែលជាការគណនាអត្រាបំលាស់ប្តូរនៃអនុគមន៍ ${\displaystyle \sin(x)\,}$ នៅត្រង់ចំនុច a មួយ។ តំលៃនៃអត្រានៅត្រង់ចំនុច a គឺផ្តល់អោយដោយ ${\displaystyle f'(a)\,}$ ។ ការយល់ដឹងអំពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីគោលការណ៍បឋមគឺជាការចាំបាច់ ជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ និងលីមីត។ គ្រប់អនុគមន៍ទាំងអស់គឺជាប់ទាក់ទងនឹងតំលៃ arbitrary នៃ x ជាមួយនឹងគ្រប់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសំដែងដោយគោរពតាម x ។

ដេរីវេនៃ sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x) and csc(x) និងអនុគមន៍ច្រាស់របស់វា

${\displaystyle f(x)=\sin(x)\implies f'(x)=\cos(x)}$

${\displaystyle f(x)=\cos(x)\implies f'(x)=-\sin(x)}$

${\displaystyle f(x)=\tan(x)\implies f'(x)=(\tan(x))'=\left({\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)=\sec ^{2}(x)}$

${\displaystyle f(x)=\cot(x)\implies f'(x)=(\cot(x))'=\left({\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\right)'={\frac {-\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-(1+\cot ^{2}(x))=-\csc ^{2}(x)}$

${\displaystyle f(x)=\sec(x)\implies f'(x)=(\sec(x))'=\left({\frac {1}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos(x)}}.{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}=\sec(x)\tan(x)}$

${\displaystyle f(x)=\csc(x)\implies f'(x)=(\csc(x))'=\left({\frac {1}{\sin(x)}}\right)'=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-{\frac {1}{\sin(x)}}.{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=-\csc(x)\cot(x)}$

${\displaystyle f(x)=\arcsin(x)\implies f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle f(x)=\arccos(x)\implies f'(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle f(x)=\arctan(x)\implies f'(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$

សំរាយបញ្ជាក់នៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស និងកូសីនុស

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស

តាមនិយមន័យដេរីរេនៃ f(x) គេបាន៖

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}}$

ហេតុនេះបើ f(x) = sin(x) គេបាន

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x) \over h}}$

ប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ គេបាន

${\displaystyle \sin(A+B)=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)\,}$ យើងអាចថា

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x) \over h}}$

ផ្តុំតួ cos(x) និង sin(x) នោះគេបានដេរីវេក្លាយជា

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h)) \over h}}$

រៀបឡើងវិញនូវតួនិមួយៗ និងធ្វើលីមីត គេបាន

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x)\sin(h) \over h}-\lim _{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h)) \over h}}$

ដោយសារ sin(x) និង cos(x) មិនខុសគ្នានឹង h

${\displaystyle f'(x)=\cos(x)\lim _{h\to 0}{\sin(h) \over h}-\sin(x)\lim _{h\to 0}{1-\cos(h) \over h}}$

តំលៃនៃលីមីត

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\sin(h) \over h}\quad }$  និង  ${\displaystyle \quad \lim _{h\to 0}{1-\cos(h) \over h}}$

គឺស្មើ ១ និង ០ ។ ដូច្នេះបើ f(x) = sin(x) គេបាន

${\displaystyle f'(x)=\cos(x)\,}$

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុស

តាមនិយមន័យដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) គេបាន៖

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}}$

ហេតុនេះបើ f(x) = cos(x) គេបាន

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x) \over h}}$

យោងតាមលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ

${\displaystyle \cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)\,}$ យើងបាន

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x) \over h}}$

ផ្តុំតួ sin(x) និង cos(x) នោះគេបានដេរីវេក្លាយជា

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)(1-\cos(h)) \over h}}$

រៀបឡើងវិញនូវតួនិមួយៗ និងធ្វើលីមីត គេបាន

${\displaystyle f'(x)=-\lim _{h\to 0}{\sin(x)\sin(h) \over h}-\lim _{h\to 0}{\cos(x)(1-\cos(h)) \over h}}$

ដោយសារតែ sin(x) និង cos(x) មិនខុសពី h គេបាន

${\displaystyle f'(x)=-\sin(x)\lim _{h\to 0}{\sin(h) \over h}-\cos(x)\lim _{h\to 0}{1-\cos(h) \over h}}$

តំលៃនៃលីមីត

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\sin(h) \over h}\quad }$  និង  ${\displaystyle \quad \lim _{h\to 0}{1-\cos(h) \over h}}$

គឺស្មើនឹង ១ និង ០ ។ ហេតុនេះបើ f(x) = cos(x) គេបាន

${\displaystyle f'(x)=-\sin(x)\,}$

សំរាយបញ្ជាក់ដេរីវេនៃអនុគមន៍តង់សង់

យើងមាន

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$

តាង ${\displaystyle f(x)=\tan(x),g(x)=\sin(x)\,}$ និង ${\displaystyle h(x)=\cos(x)\,}$

ចំពោះ ${\displaystyle h(x)\neq 0\,}$ នោះបានដេរីវេនៃ${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$ កំនត់ដោយ

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}$

យោងតាមសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រនៃអនុគមន៍តង់សង់

${\displaystyle \tan(x)={sin(x) \over \cos(x)}}$

ដោយ

ដេរីវេនៃ ${\displaystyle g(x)=\sin(x)\,}$ គឺ ${\displaystyle g'(x)=\cos(x)\,}$

ដេរីវេនៃ ${\displaystyle h(x)=\cos(x)\,}$ គឺ ${\displaystyle h'(x)=-\sin(x)\,}$

ដោយជំនួសតំលៃនៃដេរីវេ គេបាន

${\displaystyle f'(x)={\frac {\cos(x)\cos(x)-\sin(x)[-\sin(x)]}{\cos ^{2}(x)}}}$

បន្ទាប់ពីធ្វើប្រមាណរួចគេបាន

${\displaystyle f'(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}}$

ដោយអនុវត្តន៍សញ្ញាណនៃត្រីកោណមាត្រខាងក្រោម

${\displaystyle \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1\,}$   និង  ${\displaystyle \sec(x)={\frac {1}{cos(x)}}}$

គេបាន

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=\sec ^{2}(x)}$

សំរាយបញ្ជាក់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាស់ត្រីកោណមាត្រ

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសច្រាស់ (អាកស៊ីនុស)

យើងតាង

${\displaystyle y=\arcsin x\,}$

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx គេបាន៖

${\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x}$

${\displaystyle {dy \over dx}\cos y=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\cos y}}}$

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ យើងបាន

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\cos(\arcsin x)}}}$

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

ដូច្នេះ បើ f(x) = arcsin(x) យើងបាន

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសច្រាស់ (អាកកូស៊ីនុស)

យើងតាង

${\displaystyle y=\arccos x\,}$

នោះគេបាន

${\displaystyle \cos y=x\,}$

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx គេបាន៖

${\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}$

${\displaystyle -{dy \over dx}\sin y=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {-1}{\sin y}}}$

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ យើងបាន

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {-1}{\sin(\arccos x)}}}$

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

ដូច្នេះ បើ f(x) = arccos(x) យើងបាន

${\displaystyle f'(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍តង់សង់ច្រាស់ (អាកតង់សង់)

យើងតាង

${\displaystyle y=\arctan x\,}$

នោះយើងបាន

${\displaystyle \tan y=x}$

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx យើងបាន៖

${\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}$

${\displaystyle {dy \over dx}\sec ^{2}y=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sec ^{2}y}}}$

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ តើងបាន

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sec ^{2}(\arctan x)}}}$

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\left({\sqrt {x^{2}+1}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{x^{2}+1}}}$

ដូច្នេះ បើ f(x) = arctan(x)

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$

វាមានភាពងាយស្រួលជាងដើម្បីទាញបានទំនាក់ទំនង៖ ${\displaystyle tan(arctan(x))=x\,}$

ចូរស្វែងយល់អំពីដេរីវេនៃ ${\displaystyle \tan(x)\,}$ គឺ ${\displaystyle 1+tan^{2}(x)\,}$ ។

សូមមើលផងដែរ

• ដេរីវេ
• ត្រីកោណមាត្រ
• តារាងដេរីវេ