ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស

ក្នុងធរណីមាត្រ ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស(Apollonius' theorem) គឺជាទ្រឹស្តីបទមួយដែលទាក់ទងទៅនឹងធាតុខ្លះៗនៃត្រីកោណមួយ ។ គេមាន ត្រីកោណ ABC បើ D ជាចំនុចមួយនៅលើ BC ដែលវាចែក BC ជាប្រភាគ n : m (ឬ ${\displaystyle m\cdot BD=n\cdot DC}$) នោះគេបាន

${\displaystyle mAB^{2}+nAC^{2}=mBD^{2}+nDC^{2}+(m+n)AD^{2}\,}$

ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស

m=n(=1) បៃតង + ខៀវ = ក្រហម

ករណីពិសេស

• ពេល ${\displaystyle m=n(=1)\,}$ នោះ AD ជាមេដ្យានដែលចោលលើ BC នោះទ្រឹស្តីបទក្លាយទៅជាទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន៖

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BD^{2}+DC^{2}+2AD^{2}\,}$

• ពេល AB = AC នោះ ត្រីកោណជាត្រីកោណសមបាត ។ នោះទ្រឹស្តីបទក្លាយទៅជា

${\displaystyle AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}(=AC^{2})\,}$

ចំពោះ ត្រីកោណ${\displaystyle ABC\,}$ បើ${\displaystyle AD\,}$ ជាមេដ្យាន នោះ ${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2(AD^{2}+BD^{2})\,\!}$

ដើម្បីបង្ហាញចំពោះទ្រឹស្តីបទនេះ តាង${\displaystyle AX\,}$ ជាចំណោលកែងទៅនឹង${\displaystyle BC\,}$ ពីចំនុច ${\displaystyle A\,}$ ។ តាមទ្រឹស្តីបទពីតាករ ចំពោះត្រីកោណកែង${\displaystyle ABX\,}$ និង ${\displaystyle ACX\,}$ គេបាន

${\displaystyle AB^{2}=AX^{2}+BX^{2}\,}$

${\displaystyle =AX^{2}+(BD+DX)^{2}\,}$

${\displaystyle =AX^{2}+BD^{2}+DX^{2}+2.BD.DX\qquad (i)}$

និង

${\displaystyle AC^{2}=AX^{2}+CX^{2}\,}$

${\displaystyle =AX^{2}+(CD-DX)^{2}\,}$

${\displaystyle =AX^{2}+CD^{2}+DX^{2}-2.CD.DX\qquad (ii)}$

ដោយបូកបញ្ចូលសមីការ(i) និង (ii)

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}\,\!}$

${\displaystyle =AX^{2}+BD^{2}+DX^{2}+2.BD.DX+AX^{2}+CD^{2}+DX^{2}-2.CD.DX\,\!}$

${\displaystyle =2(AX^{2}+DX^{2}+BD^{2})\,}$

ដោយ ${\displaystyle BD=DC,\,}$

${\displaystyle 2.BD.DX=2.DC.DX\,\!}$

${\displaystyle =2(AX^{2}+DX^{2})+2BD^{2}\,\!}$

${\displaystyle =2(AD^{2}+BD^{2})\,\!}$

ដោយ ${\displaystyle AXD\,}$ គឺជាមុំកែង

ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្ហាញ ។