អាំងតេក្រាលមិនកំនត់

អាំងតេក្រាល (​បារាំង: Intégral; អង់គ្លេស: Integral) ហៅ​ជា អនុកល ^[១] ក៏​បាន គឺ​ជាគន្លឹះ​ដ៏​សំខាន់​នៅ​ក្នុង​គណិត​វិទ្យា ។ បើ​និយាយ​ឱ្យ​ស្រួល​ស្តាប់​ទៅ អាំងតេក្រាល គឺ​ជាអនុគមន៍​មុន​ពេល​ធ្វើ​ដេរីវេ ។

រូបមន្តអាំងតេក្រាលមិនកំណត់មួយចំនួន

C​ ជាចំនួនពិត

រូបមន្តអាំងតេក្រាលមិនកំនត់សំខាន់ៗ

${\displaystyle (1).\int e^{x}\,dx\,\!=e^{x}+C}$         ${\displaystyle (2).\int a^{x}\,dx\,\!={\frac {1}{\ lna}}~a^{x}+C}$         ${\displaystyle (3).\int {\frac {1}{\ x}}~dx=ln|x|+C}$         ${\displaystyle (4).\int x^{p}\,dx\,\!={\frac {1}{\ p+1}}x^{p+1}+C\quad (}$ដែល​ p​ ជាចំនួនពិត)         ${\displaystyle (5).\int {\frac {1}{\ {x^{2}-a^{2}}}}\,dx\,\!={\frac {1}{\ {2a}}}ln|{\frac {x^{2}-a^{2}}{x^{2}+a^{2}}}|+C\quad (a\neq 0)}$         ${\displaystyle (6).\int {\frac {1}{\ {x^{2}+a^{2}}}}\,dx\,\!={\frac {1}{\ {a}}}tan^{-1}{\frac {x}{a}}+C\quad (a\neq 0)}$         ${\displaystyle (7).\int sinx\,dx\,\!=-cosx+C}$         ${\displaystyle (8).\int cosx\,dx\,\!=sinx+C}$         ${\displaystyle (9).\int {\frac {1}{\ cos^{2}x}}\,dx\,\!=tanx+C}$         ${\displaystyle (10).\int {\frac {1}{\ sin^{2}x}}\,dx\,\!=-cotx+C}$         ${\displaystyle (11).\int tanx\,dx\,\!=-ln|cosx|+C}$         ${\displaystyle (12).\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx\,\!=sin^{-1}{\frac {x}{a}}+C\quad (a>0)}$         ${\displaystyle (13).\int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-A}}}\,dx\,\!=ln|x+{\sqrt {x^{2}+A}}|+C\quad (A\neq 0)}$         ${\displaystyle (14).\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx\,\!={\frac {1}{\ {2}}}(x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a^{2}sin^{-1}{\frac {x}{a}})+C\quad (a>0)}$         ${\displaystyle (15).\int {\sqrt {x^{2}+A}}\,dx\,\!={\frac {1}{\ {2}}}(x{\sqrt {x^{2}+A}}+Aln|x+{\sqrt {x^{2}+A}}|)+C}$

អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក

${\displaystyle (1).\int f(x)g'(x)\,dx\,\!=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx\,\!}$
${\displaystyle (2).\int f(x)\,dx\,\!=xf(x)-\int xf'(x)\,dx\,\!}$
${\displaystyle (3).\int lnx\,dx\,\!=xlnx-x+C}$

ឧទាហរណ៏ៈគណនាអាំងតេក្រាល
${\displaystyle (1)\int xsinx\,dx\,\!}$

• របៀបគិត: តាង ${\displaystyle \color {Red}f(x)=x,g'(x)=sinx}$ រួចប្រើរូបមន្តអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក គេបាន
  

${\displaystyle \int xsinx\,dx\,\!=\int x(-cosx)'\,dx\,\!=x(-cosx)-\int (x)'(-cosx)\,dx\,\!}$
                ${\displaystyle =-xcosx+\int cosx\,dx\,\!=-xcosx+sinx+C}$

${\displaystyle (2)\int xlnx\,dx\,\!}$
តាង​ ${\displaystyle \color {Red}f(x)=lnx,g'(x)=x}$ គេបាន
${\displaystyle \int xlnx\,dx\,\!=\int lnx({\frac {1}{2}}x^{2})'\,dx\,\!=lnx({\frac {1}{2}}x^{2})-\int (lnx)'({\frac {1}{2}}x^{2})\,dx\,\!}$
                ${\displaystyle ={\frac {1}{2}}x^{2}lnx-{\frac {1}{2}}\int x\,dx\,\!={\frac {1}{2}}x^{2}lnx-{\frac {1}{4}}x^{2}+C}$

អាំងតេក្រាលប្តូរអថេរ

គេមានអនុគមន៏ ${\displaystyle \varphi (x)=t}$ គេបាន
${\displaystyle \color {blue}\int f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx\,\!=\int f(t){\frac {dt}{dx}}\,dx\,\!=\int f(t)\,dt\,\!}$

ឧទាហរណ៏ៈគណនាអាំងតេក្រាល
${\displaystyle (1)\int sin^{2}xcosx\,dx\,\!}$

វិធីសាស្រ្តកំណត់មេគុណ

• ក/ ករណីធម្មតា

• របៀបទី១

ឧទាហរណ៍ ${\displaystyle {\frac {1}{(x+3)(x+2)(x+5)}}\,\!={\frac {A}{x+3}}\,\!+{\frac {B}{x+2}}\,\!+{\frac {C}{x+5}}\,\!}$

តម្រូវភាគបែង រួចប្រៀបធៀបមេគុណរួមដឺក្រេនៃ ${\displaystyle x\!}$

• ​​ របៀបទី២

គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle x+3\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=-3\!}$ គេបាន ${\displaystyle A=-{\frac {1}{2}}\!}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle x+2\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=-2\!}$ គេបាន ${\displaystyle B={\frac {1}{3}}\!}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle x+5\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=-5\!}$ គេបាន ${\displaystyle C={\frac {1}{6}}\!}$

• ខ/ ករណីភាគបែងមានឫសពិត

ឧទាហរណ៍ ${\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{(x+1)(x-2)(x+7)}}\,\!={\frac {A}{x+1}}\,\!+{\frac {B}{x-2}}\,\!+{\frac {C}{x+7}}\,\!}$

គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle x+1\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=-1\!}$ គេបាន ${\displaystyle A=-{\frac {1}{9}}\!}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle x-2\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=2\!}$ គេបាន ${\displaystyle B={\frac {5}{27}}\!}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle x+7\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=-7\!}$ គេបាន ${\displaystyle C={\frac {25}{27}}\!}$

• គ/ ករណីភាគបែងមានឫសលំដាប់ខ្ពស់

ឧទាហរណ៍ ${\displaystyle {\frac {x+2}{(x+3)^{3}(x-1)}}\,\!={\frac {A}{(x+3)^{3}}}\,\!+{\frac {B}{(x+3)^{2}}}\,\!+{\frac {C}{x+3}}\,\!+{\frac {D}{x-1}}\,\!}$
យក${\displaystyle x=0\!}$ គេបាន​${\displaystyle B=-{\frac {3}{16}}\,\!}$

គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle (x+3)^{3}\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=-3\!}$ គេបាន ${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\!}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle x-1\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=1\!}$ គេបាន ${\displaystyle D={\frac {3}{64}}\!}$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle x+3\!}$ រួចយក ${\displaystyle x\to +\infty \,\!}$
គេបាន ${\displaystyle 0=C+D;C=-{\frac {3}{64}}\,\!}$

យក ${\displaystyle x=0\!}$ គេបាន ${\displaystyle B=-{\frac {3}{16}}\,\!}$

• ឃ/​ ករណីភាគបែងមានឫសកុំផ្លិច

ឧទាហរណ៍ ${\displaystyle {\frac {x+1}{(x-2)(x^{2}+1)}}\,\!={\frac {A}{x-2}}\,\!+{\frac {Bx+C}{x^{2}+1}}\,\!}$

គុណអង្គទាំង២ នឹង ${\displaystyle x-2\!}$ គេបាន ${\displaystyle A={\frac {3}{5}}\,\!}$
គុណអង្គទាំង២​ នឹង ${\displaystyle x^{2}+1\!}$ រួចយក​ ${\displaystyle x=i\!}$

គេបាន ${\displaystyle B=-{\frac {3}{5}}\,\$ ;\,C=-{\frac {1}{5}}\,\!}

• ង/​ ករណីភាគបែងមានឫសកុំផ្លិចលំដាប់ខ្ពស់

ឧទាហរណ៍ ${\displaystyle {\frac {4}{x^{4}+1}}\,\!={\frac {Ax+B}{x^{2}-{\sqrt {2}}x+1}}\,\!+{\frac {Cx+D}{x^{2}+{\sqrt {2}}x+1}}\,\!}$
ដោយ ${\displaystyle f(x)={\frac {4}{x^{4}+1}}\,\!}$ ជាអនុគមន៍គូ គេបាន

${\displaystyle {\frac {Ax+B}{x^{2}-{\sqrt {2}}x+1}}\,\!+{\frac {Cx+D}{x^{2}+{\sqrt {2}}x+1}}\,\!={\frac {-Ax+B}{x^{2}+{\sqrt {2}}x+1}}\,\!+{\frac {-Cx+D}{x^{2}-{\sqrt {2}}x+1}}\,\!}$

គេបាន​ ${\displaystyle A=-C\$ ;\,B=D\!}
គុណអង្គទាំង២នឹង ${\displaystyle x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\!}$ រួចយក ${\displaystyle x=i\!}$ គេបាន ${\displaystyle A=-{\sqrt {2}}\,\$ ;\,C={\sqrt {2}}\!}

យក ${\displaystyle x=0\!}$ គេបាន ${\displaystyle B=D=2\!}$

វិធីសាស្រ្ត OSTROGRADSKI

ប្រើសម្រាប់​គណនាអាំងតេក្រាលអនុគមន៍ប្រភាគសនិទានដែលភាគបែងមានឫសលំដាប់ខ្ពស់ ។

• បើ ${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}\!}$ មានឫសលំដាប់ខ្ពស់ច្រើន គេបាន៖

${\displaystyle \color {blue}\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}\,dx\,\!={\frac {X(x)}{R(x)}}\,\!+\int {\frac {Y(x)}{S(x)}}\,dx\,\!}$
ដែល ${\displaystyle R(x)=PGCD[Q(x);Q^{'}(x)]\!}$
${\displaystyle S(x)={\frac {Q(x)}{R(x)}}\!}$
${\displaystyle X(x)\!}$​ និង ${\displaystyle Y(x)\!}$ ជាពហុធាមានមេគុណត្រូវកំណត់ហើយមានដឺក្រេរៀងគ្នា តូចជាង ${\displaystyle R(x)\!}$ និង ${\displaystyle S(x)\!}$ មួយឯកតា

ឧទាហរណ៍​ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {1}{(x^{3}-1)^{2}}}\,dx\,\!}$

• ក/ តាមប្រភាគសនិទាន

${\displaystyle {\frac {1}{(x^{3}-1)^{2}}}\,\!={\frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+x+1)^{2}}}\,\!={\frac {A}{(x-1)^{2}}}\,\!+{\frac {B}{x-1}}\,\!+{\frac {Cx+D}{(x^{2}+x+1)^{2}}}\,\!+{\frac {Ex+F}{x^{2}+x+1}}\,\!}$

• ខ/​ តាម OSTROGRADSKI

គេបាន​ ${\displaystyle Q(x)=(x^{3}-1)^{2};Q^{'}(x)=6x^{2}(x^{3}-1);R(x)=PGCD[Q(x);Q^{'}(x)]=x^{3}-1;S(x)={\frac {Q(x)}{R(x)}}\,\!={\frac {(x^{3}-1)^{2}}{x^{3}-1}}\,\!=x^{3}-1\!}$

${\displaystyle \Rightarrow I=\int {\frac {1}{(x^{3}-1)^{2}}}\,dx\,\!={\frac {ax^{2}+bx+c}{x^{3}-1}}\,\!+\int {\frac {a^{'}x^{2}+b^{'}x+c^{'}}{x^{3}-1}}\,dx\,\!}$
ដេរីវេអង្គទាំង២ គេបាន ${\displaystyle {\frac {1}{(x^{3}-1)^{2}}}\,\!={\frac {(2ax+b)(x^{3}-1)-3x^{2}(ax^{2}+bx+c)}{(x^{3}-1)^{2}}}\,\!+{\frac {(a^{'}x^{2}+b^{'}x+c^{'})(x^{3}-1)}{(x^{3}-1)^{2}}}\,\!}$
តម្រូវភាគបែង រួចប្រៀបធៀបមេគុណរួមដឺក្រេនៃ${\displaystyle x\!}$ គេបាន​​ ${\displaystyle a=0;b=-{\frac {1}{3}}\,\!;c=0;a^{'}=0;b^{'}=0;c^{'}=-{\frac {2}{3}}\!}$
${\displaystyle \Rightarrow I=\int {\frac {1}{(x^{3}-1)^{2}}}\,dx\,\!={\frac {-{\frac {1}{3}}\,\!x}{x^{3}-1}}\,\!+\int {\frac {-{\frac {2}{3}}\,\!}{x^{3}-1}}\,dx\,\!}$

អាំងតេក្រាលអនុគមន៍អសនិទាន

• ១/​ អាំងតេក្រាលរាង

${\displaystyle \color {blue}I=\int f(x^{\frac {m}{n}}\,\!;x^{\frac {p}{q}}\,\!;......)\,dx\,\!}$
គេត្រូវតាង ${\displaystyle x=t^{k}\!}$ ដែល ${\displaystyle k\!}$ ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ ${\displaystyle {\frac {m}{n}}\,\!;{\frac {p}{q}}\,\!;......\!}$

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {\sqrt[{3}]{x}}{{\sqrt {x}}\,\!+{\sqrt[{4}]{x}}}}\,dx\,\!=\int {\frac {x^{\frac {1}{3}}}{x^{\frac {1}{2}}\,\!+x^{\frac {1}{4}}}}\,\!}$
តាង ${\displaystyle x=t^{12}\!}$

• ២/ អាំងតេក្រាលរាង

${\displaystyle \color {blue}I=\int f\left[\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\,\!\right)^{\frac {m}{n}}\,\!;\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\,\!\right)^{\frac {p}{q}}\,\!;......\right]\,dx\,\!}$
គេតាង ${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}\,\!=t^{k}\!}$ ដែល ${\displaystyle k\!}$ ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ ${\displaystyle {\frac {m}{n}}\,\!;{\frac {p}{q}}\,\!;......\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\,dx\,\!=\int \left({\frac {1-x}{1+x}}\right)^{\frac {1}{2}}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle {\frac {1-x}{1+x}}\,=\,t^{2}\,\!\Leftrightarrow \,x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\!}$

វិធីសាស្រ្តប្តូរអថេរEULER

សម្រាប់​អាំងតេក្រាលមានរាង

${\displaystyle \color {blue}I=\int f\left(x;{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\,dx\,\!}$

• ក/ បើ Δ<0 ; a>0 តាង ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,=\,{\sqrt {a}}x+t\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-x+3}}}}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-x+3}}\,=\,x+t\,\Rightarrow x={\frac {3-t^{2}}{1+2t}}\,\!}$

• ខ/ បើ Δ<0 ; c >0 តាង ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,=\,xt+{\sqrt {c}}\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {(1-{\sqrt {1+x+x^{2}}})^{2}}{x^{2}{\sqrt {1+x+x^{2}}}}}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle {\sqrt {1+x+x^{2}}}\,=\,xt+1\Rightarrow x={\frac {1-2t}{t^{2}-1}}\,\!}$

• គ/ បើ Δ>0 គេបាន ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,=\,{\sqrt {a(x-x_{1})(x-x_{2})}}\,\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {\sqrt {x^{2}+2x}}{x}}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+2x}}\,=\,xt\Rightarrow x={\frac {2}{t^{2}-1}}\,\!}$

អាំងតេក្រាលរាង I = ∫ P n ( x ) a x 2 + b x + c d x {\displaystyle \color {blue}I=\int {\frac {P_{n}(x)}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}\,dx\,\!}

គេបំលែង ${\displaystyle \color {Red}I=\int {\frac {P_{n}(x)}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}\,dx\,=\,P_{n-1}(x){\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,+\,\lambda \int {\frac {1}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}\,dx\,\!}$
${\displaystyle P_{n-1}(x)\!}$ ជាពហុធាដឺក្រេ ${\displaystyle n-1\!}$ មានមេគុណត្រូវកំណត់ ហើយគេអាចគណនាមេគុណទាំងនោះ​ ដោយដេរីវេអង្គទាំងពីរ រួចប្រៀបធៀមេគុណរួមដឺក្ររេនៃះ${\displaystyle x\!}$ ។

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{\sqrt {x^{2}+2x+2}}}\,dx\,\!}$
គេបាន : ${\displaystyle I=\int {\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{\sqrt {x^{2}+2x+2}}}\,dx\,=\,(ax^{2}+bx+c){\sqrt {x^{2}+2x+2}}\,+\,\lambda \int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+2x+2}}}\,dx\,\!}$

អាំងតេក្រាលអនុគមន៍ទ្វេធាឌីផេរ៉ង់ស្យែល

${\displaystyle \color {blue}I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\,dx\,\!}$
គេអាចគណនាតាមបីករណី៖

• ករណីទី១​:

បើ ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} \!}$
តាង​ ${\displaystyle x=t^{k}\!}$ ដែល ${\displaystyle k\!}$ ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ ${\displaystyle m;n\!}$

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {1}{{\sqrt {x}}({\sqrt[{4}]{x}}+1)^{10}}}\,dx\,=\,\int x^{-{\frac {1}{2}}}(x^{\frac {1}{4}}+1)^{-10}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle x=t^{4}\!}$

• ករណីទី២:

បើ ${\displaystyle p\not \in \mathbb {Z} \,;{\frac {m+1}{n}}\in \mathbb {Z} \,\!}$
តាង ${\displaystyle a+bx^{n}=t^{k};k\!}$ ជាភាគបែងរួមនៃ${\displaystyle p\!}$

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{4}]{x}}}}{\sqrt {x}}}\,dx\,=\,\int x^{-{\frac {1}{2}}}(1+x^{\frac {1}{4}})^{\frac {1}{3}}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle 1+x^{\frac {1}{4}}=t^{3}\,\Leftrightarrow x=(t^{3}-1)^{4}\,\!}$

• ករណីទី៣:

បើ​ ${\displaystyle p\not \in \mathbb {Z} \,;{\frac {m+1}{n}}\not \in \mathbb {Z} \,;{\frac {m+1}{n}}+p\in \mathbb {Z} \,\!}$

តាង ${\displaystyle a+bx^{-n}=t^{k}\!}$​​ ឬ ${\displaystyle {\frac {a+bx^{n}}{x^{m}}}\!}$ ដែល​ ${\displaystyle k\!}$ ជាភាគបែងរួមនៃ${\displaystyle p\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{4}{\sqrt {1+x^{2}}}}}\,dx\,=\,\int x^{-4}(1+x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle 1+x^{-2}=t^{2}\,\Leftrightarrow x=(t^{2}-1)^{-{\frac {1}{2}}}\,\!}$

អាំងតេក្រាលដោយផ្នែកដែលមាន៤រាង

ប្រើរូបមន្តអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក ${\displaystyle \int udv\,=\,uv\,-\,\int vdu\!}$

• ១/ រាង ${\displaystyle \color {blue}\int P(x)sinaxdx\,;\,\int P(x)cosaxdx\,;\,\int P(x)e^{ax}dx\,\!}$
  

ដែល ${\displaystyle P(x)\!}$ ជាពហុធា​ ${\displaystyle$ ;\,a} ​ ជាចំនួនថេរ គេតាង ${\displaystyle u=P(x)\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle \int xsin2xdx\!}$ តាង ${\displaystyle u=x\Rightarrow du=dx\!}$

• ២/ រាង ${\displaystyle \color {blue}\int P(x)log_{a}x\!dx}$ តាង ${\displaystyle u=log_{a}x\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle \int x^{2}log_{2}xdx\!}$ តាង ${\displaystyle u=log_{2}x\!}$

• ៣/​ រាង ${\displaystyle \color {blue}\int e^{ax}sinaxdx\,;\,\int e^{ax}cosaxdx\!}$
  តាង ${\displaystyle u=e^{ax}\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle \int e^{x}cos3xdx\!}$ តាង ${\displaystyle u=e^{x}\!}$

• ៤/ រាង ${\displaystyle \color {blue}\int P(x)arcsinxdx\$ ;\,\int P(x)arccosxdx\,;\,\int P(x)arctanxdx\!} តាង ${\displaystyle u=arcsinx\,;\,u=arccosx\,;u=arctanx\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle \int xarctanxdx\!}$ តាង ${\displaystyle u=arctanx\Rightarrow \,du={\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\,\!}$

• ៥/ រាង ${\displaystyle \color {blue}\int cosmxcosnxdx\,;\,\int sinmxsinnxdx\,;\,\int sinmxcosnxdx\!}$
  

ប្រើរូបមន្ត នូឌុប

${\displaystyle cosacosb\,=\,{\frac {1}{2}}[cos(a+b)+cos(a-b)]\!}$
${\displaystyle sinasinb\,=\,{\frac {1}{2}}[cos(a-b)-cos(a+b)]\!}$
${\displaystyle sinacosb\,=\,{\frac {1}{2}}[sin(a+b)+sin(a-b)]\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle \int sin4xsin3xdx\!}$

អាំងតេក្រាលរាង​ I = ∫ s i n m x c o s n x d x ; ( m ; n ∈ N ∗ ) {\displaystyle \color {blue}I=\int sin^{m}xcos^{n}xdx\,;\,(m;n\in \mathbb {N} ^{*})\!}

• ១/​ បើ ${\displaystyle m\!}$ សេស តាង ${\displaystyle t=cosx\!}$
  
• ២/ បើ ${\displaystyle n\!}$​ សេស តាង ${\displaystyle t=sinx\!}$
  
• ៣/ បើ ${\displaystyle m\,;\,n\!}$ គូ ប្រើវិធីបន្ថយដឺក្រេ ${\displaystyle cos^{2}x={\frac {1+cos2x}{2}}\,;\,sin^{2}x={\frac {1-cos2x}{2}}\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int sin^{3}xcos^{4}xdx\!}$ តាង ${\displaystyle t=cosx\!}$

អាំងតេក្រាលរាង I = ∫ s i n m x c o s n x d x ; ( m &lt; 0 ; n &lt; 0 ) {\displaystyle \color {blue}I=\int sin^{m}xcos^{n}xdx\,;\,(m&lt;0;n&lt;0)\!}

គេតាង​ ${\displaystyle t=tanx\Rightarrow \,dt=(1+tan^{2}x)dx\,\Leftrightarrow dx={\frac {1}{1+t^{2}}}\,dt\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int sin^{-{\frac {3}{2}}}xcos^{-1}xdx\,=\,\int {\frac {1}{sin^{\frac {3}{2}}cosx}}\,dx\,\!}$
បំលែង​ ${\displaystyle {\frac {1}{sin^{{\frac {3}{2}}{cosx}}}}\,=\,(1+{\frac {1}{tan^{2}x}})^{\frac {3}{4}}(1+tan^{2})^{\frac {1}{2}}\!}$
តាង ${\displaystyle t=tanx\,\Leftrightarrow dx={\frac {1}{1+t^{2}}}\,dt\,\!}$ គេបាន ${\displaystyle I=\int t^{-{\frac {3}{2}}}(1+t^{2})^{\frac {1}{4}}\,dt\!}$
តាង ${\displaystyle 1+t^{-2}=k^{4}\!}$

អាំងតេក្រាលរាង I = ∫ c o s m x d x ; ∫ s i n n x d x {\displaystyle \color {blue}I=\int cos^{m}xdx\,;\,\int sin^{n}xdx\!}

• បើ ${\displaystyle m\!}$ សេស ${\displaystyle (\!}$រៀង${\displaystyle n\!}$​សេស${\displaystyle )\!}$​ ចូរប្រើរូបមន្ត ${\displaystyle cos^{2}x+sin^{2}x=1\!}$
  
• បើ ${\displaystyle m\!}$ គូ ${\displaystyle (\!}$រៀង${\displaystyle n\!}$គូ${\displaystyle )\!}$ ចូរប្រើរូបមន្ត ${\displaystyle cos^{2}x={\frac {1+cos2x}{2}}\$ ;\,sin^{2}x={\frac {1-cos2x}{2}}\!}
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int cos^{5}xdx\,=\,\int cos^{4}xcosxdx\,=\,\int (1-sin^{2}x)^{2}cosxdx\!}$
តាង ${\displaystyle t=sinx\!}$

អាំងតេក្រាលរាង I = ∫ t a n m x d x &nbsp; ; J = ∫ c o t n x d x {\displaystyle \color {blue}I=\int tan^{m}xdx\&nbsp;;\,J=\int cot^{n}xdx\!}

គេប្រើវីធីបន្ថយដឺក្រេ ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int tan^{5}xdx\,=\,\int tan^{3}xtan^{2}xdx\,=\,\int [tan^{3}x(tan^{2}x+1)-tan^{3}x]dx\!}$

អាំងតេក្រាលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ I = ∫ R ( s i n x ; c o s x ) d x {\displaystyle \color {blue}I=\int R(sinx\,;\,cosx)\,dx\,\!}

ជាទូទៅ គេតាង${\displaystyle t=tan{\frac {x}{2}}\Rightarrow x=2arctant\Rightarrow dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt\!}$
${\displaystyle sinx={\frac {2t}{1+t^{2}}}\,;\,cosx={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,;\,tanx={\frac {2t}{1-t^{2}}}\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {1}{1+sinx}}\,dx\,\!}$
តាង​ ${\displaystyle t=tan{\frac {x}{2}}\!}$

• ករណីពិសេស

• ក/​ បើ ${\displaystyle \color {blue}R(-sinx;cosx)=-R(sinx;cosx)\!}$ តាង ${\displaystyle t=cosx\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {sin^{3}x}{cosx+sin^{2}x+1}}\,dx\,\!}$
${\displaystyle t=cosx\Rightarrow dt=-sinxdx\!}$

• ខ/ បើ ${\displaystyle \color {blue}R(sinx;-cosx)=-R(sinx;cosx)\!}$ តាង​ ${\displaystyle t=sinx\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {cos^{5}x}{sin^{3}x+cos^{2}x-sinx}}\,dx\,\!}$
${\displaystyle t=sinx\Rightarrow dt=cosxdx\!}$

• គ/ បើ ${\displaystyle \color {blue}R(-sinx;-cosx)=R(sinx;cosx)\!}$ តាង​ ${\displaystyle t=tanx\Rightarrow x=arctant\Rightarrow dx={\frac {1}{1+t^{2}}}dt\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {cos^{2}x}{sin^{2}x+4sinxcosx}}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle t=tanx\!}$

វិធីប្តូរអថេរត្រីកោណមាត្រ

• ក/​ បើអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលមានរ៉ាឌីកាល់${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\!}$ គេត្រូវ តាង${\displaystyle x=acost\!}$ ឬ ${\displaystyle x=asint\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\sqrt {2-x^{2}}}\,dx\,=\,\int {\sqrt {{\sqrt {2^{2}}}-x^{2}}}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle x={\sqrt {2}}sint\Rightarrow dx={\sqrt {2}}costdt\,;\,t=arcsin{\frac {x}{\sqrt {2}}}\!}$

• ខ/ បើអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលមានរ៉ាឌីកាល់​ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\!}$ គេត្រូវតាង​ ${\displaystyle x={\frac {a}{cost}}\!}$ ឬ ${\displaystyle x={\frac {a}{sint}}\!}$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {x^{3}}{\sqrt {x^{2}-4}}}\,dx\,\!}$
តាង ${\displaystyle x={\frac {2}{cost}}\Rightarrow dx={\frac {2sint}{cos^{2}t}}dt\,;\ t=arccos{\frac {2}{x}}\!}$

អាំងតេក្រាលរាង I = ∫ a ′ s i n x + b ′ c o s x a s i n x + b c o s x d x {\displaystyle \color {Blue}I=\int {\frac {a^{'}sinx+b^{'}cosx}{asinx+bcosx}}\,dx\,\!}

គេត្រូវបំលែង​ : ${\displaystyle \color {Red}a^{'}sinx+b^{'}cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {sinx-cosx}{sinx+2cosx}}\,dx\,\!}$
ដោយ ${\displaystyle sinx-cosx=A(sinx+2cosx)+B(cosx-2sinx)=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx\!}$
${\displaystyle \Rightarrow A=-{\frac {1}{5}}\,;\,B=-{\frac {3}{5}}\!}$

អាំងតេក្រាលរាង​ I = ∫ a ′ s i n x + b ′ c o s x ( a s i n x + b c o s x ) 2 d x {\displaystyle \color {Blue}I=\int {\frac {a^{'}sinx+b^{'}cosx}{(asinx+bcosx)^{2}}}\,dx\,\!}

គេត្រូវបំលែង ${\displaystyle \color {Red}a^{'}sinx+b^{'}cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {sinx-cosx}{(2sinx+cosx)^{2}}}\,dx\,\!}$
ដោយ ${\displaystyle sinx-cosx=A(2sinx+cosx)+B(2cosx-sinx)=(2A-B)sinx+(A+2B)cosx\!}$
គេបាន ${\displaystyle A={\frac {1}{5}}\,;\,B=-{\frac {3}{5}}\!}$

អាំងតេក្រាលរាង​ I = ∫ a ′ s i n x + b ′ c o s x + c ′ a s i n x + b c o s x + c d x {\displaystyle \color {Blue}I=\int {\frac {a^{'}sinx+b^{'}cosx+c^{'}}{asinx+bcosx+c}}\,dx\,\!}

គេត្រូវបំលែង ${\displaystyle \color {Red}a^{'}sinx+b^{'}cosx+c^{'}\,=\,A(asinx+bcosx+c)+B(acosx-bsinx)+C\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle \color {Blue}I=\int {\frac {sinx-2cosx+3}{sinx+2cosx-3}}\,dx\,\!}$
ដោយ ${\displaystyle sinx-2cosx+3\,=\,A(sinx+2cosx-3)+B(cosx-2sinx)+C\,=\,(A-2B)sinx+(2A+B)cosx-3A+C\!}$
គេបាន ${\displaystyle A=-{\frac {3}{5}}\,;\,B=-{\frac {4}{5}}\,;\,C={\frac {6}{5}}\!}$

អាំតេក្រាលរាង I = ∫ a ′ s i n 2 x + 2 b ′ s i n x c o s x + c ′ c o s 2 x a s i n x + b c o s x d x {\displaystyle \color {blue}I=\int {\frac {a^{'}sin^{2}x+2b^{'}sinxcosx+c^{'}cos^{2}x}{asinx+bcosx}}\,dx\,\!}

គេត្រូវបំលែង ${\displaystyle \color {Red}a^{'}sin^{2}x+2b^{'}sinxcosx+c^{'}cos^{2}x\,=\,(asinx+bcosx)(Asinx+Bcosx)+C(sin^{2}x+cos^{2}x)\!}$
ឧទាហរណ៍ : គណនា ${\displaystyle I=\int {\frac {sin^{2}x-2sinxcosx+3cos^{2}x}{sinx-cosx}}\,dx\,\!}$
ដោយ ${\displaystyle sin^{2}x-2sinxcosx+3cos^{2}x\,=\,(sinx-cosx)(Asinx+Bcosx)+C(sin^{2}x+cos^{2}x)\,=\,(A+C)sin^{2}x+(B-A)sinxcosx+(C-B)cos^{2}x\!}$
គេបាន ${\displaystyle A=0\,;\,B=-2\,;\,C=1\!}$

មើលផងដែរ

• អាំងតេក្រាលកំណត់
• អាំងតេក្រាលឌុប
• អាំងតេក្រាលត្រីគុណ
• អាំងតេក្រាលខ្សែកោង
• អាំងតេក្រាលផ្ទៃ