가가가속도

가가가속도(加加加速度, 영어: snap^[1], jounce)란 가가속도가 시간에 따라 변하는 정도를 나타내는 물리량이다.^[2] 가속도, 가가속도와 마찬가지로 벡터를 사용해 나타낸다. SI 단위로는 m/s⁴를 사용한다.

정의

가가가속도는 수학적으로 다음의 여러 일련의 표현 중 하나로 정의된다. $${\displaystyle {\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}.}$$

다음 방정식은 스냅이 일정할 때 사용된다. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},\end{aligned}}}$$

여기서

• ${\displaystyle {\vec {s}}}$는 일정한 스냅,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$는 초기 가가속도,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$는 최종 가가속도,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$는 초기 가속도,
• ${\displaystyle {\vec {a}}}$는 최종 가속도,
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$는 초기 속도,
• ${\displaystyle {\vec {v}}}$는 최종 속도,
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$는 초기 위치,
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$는 최종 위치,
• ${\displaystyle t}$는 초기 상태와 최종 상태 사이의 시간이다.

표기법 ${\displaystyle {\vec {s}}}$ (비서(Visser)가 사용함^[2])는 일반적으로 유사하게 표기되는 변위 벡터와 혼동되어서는 안 된다.

스냅의 차원은 시간의 4제곱당 거리 [LT⁻⁴]이다. 해당 SI 단위는 초의 4제곱당 미터, m/s⁴, m⋅s⁻⁴이다.

활용

거리에 대한 시간의 고차 미분은 거의 쓰이지 않지만,^[3] 스냅과 가가속도(Jerk)를 최소화하는 것은 기계공학과 토목공학에서 진동을 줄이고 더 부드러운 움직임 전환을 보장하기 때문에 유용하다. 토목공학에서 철도 트랙과 도로는 특히 곡률반지름이 다양한 곡선 주변에서 스냅을 제한하도록 설계된다. 스냅이 일정하면 가가속도가 선형적으로 변하여 구심 가속도가 점진적으로 증가한다. 스냅이 0이면 가속도가 선형적으로 변한다. 이러한 조건은 종종 수학적인 클로소이드 함수를 사용해 만들 수 있다. 롤러코스터 설계자도 루프와 헬릭스에서 부드러운 전환을 사용하여 승차감을 향상시키는 데 동일한 원리를 적용한다.^[3]

기계공학에서 스냅과 가가속도를 제어하는 것은 캠 팔로어가 캠 샤프트에서 이탈하는 것을 방지하기 위한 자동차 설계에서 중요하며, 절삭 공구의 급격한 가속도 변화가 조기 마모와 고르지 않은 표면 마감을 유발할 수 있는 제조에서도 중요하다.^[3] 최소 스냅 및 최소 가가속도 경로는 로봇공학의 경로 생성에도 사용된다. 쿼드콥터의 최소 스냅 경로는 제어 노력을 줄일 수 있으며,^[4] 로봇 매니퓰레이터의 최소 가가속도 경로는 제어 성능을 향상시키고 인간과 로봇 상호 작용을 용이하게 하는 예측 가능한 움직임을 생성한다.

같이 보기

• 변위
• 속도
• 가속도
• 가가속도