가군층

대수기하학에서 가군층(加群層, 영어: sheaf of modules)은 어떤 환 달린 공간 위에, 어떤 열린집합 위에 달린 가환환에 대한 가군을 이루는 아벨 군으로 구성된 층이다.

정의

환 달린 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 위의 가군층은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• ${\displaystyle X}$ 위의 아벨 군의 층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• 각 열린 집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle \Gamma (U;{\mathcal {F}})}$ 위의 ${\displaystyle \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})}$-가군의 구조

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 제약 사상은 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$의 제약 사상과 호환된다. 즉, 임의의 열린 집합 ${\displaystyle V\subseteq U\subseteq X}$에 대하여, 제약 사상 ${\displaystyle \operatorname {res} _{UV}^{{\mathcal {O}}_{X}}\colon \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})\to \Gamma (V;{\mathcal {O}}_{X})}$, ${\displaystyle \operatorname {res} _{UV}^{\mathcal {F}}\colon \Gamma (U;{\mathcal {F}})\to \Gamma (V;{\mathcal {F}})}$이 주어졌을 때, 임의의 ${\displaystyle f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$, ${\displaystyle s\in \Gamma (U,{\mathcal {F}})}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {res} _{UV}^{\mathcal {F}}(fs)=\operatorname {res} _{UV}^{{\mathcal {O}}_{X}}(f)\operatorname {res} _{UV}^{\mathcal {F}}(s)}$이다.

성질

환 달린 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 위의 가군층의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 또한, 이 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 층 코호몰로지 ${\displaystyle H^{\bullet }(X;-)}$를 정의할 수 있다. (그러나 일반적으로 사영 대상을 충분히 가지는 범주가 아니다.)

예

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위에, 정수환의 상수층 ${\displaystyle {\underline {\mathbb {Z} }}}$을 주었을 때, ${\displaystyle (X,{\underline {\mathbb {Z} }})}$ 위의 가군층은 ${\displaystyle X}$ 위의 아벨 군의 층과 같다.

참고 문헌

• Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

같이 보기

• 아이디얼 층
• D가군
• 분수 아이디얼
• 해석적 벡터다발

외부 링크

• “Sheaf of modules”. 《nLab》 (영어).
• Siegel, Charles (2008년 4월 7일). “Sheaves of modules”. 《Rigorous Trivialities》 (영어).