정칙 벡터 다발

미분기하학에서 정칙 벡터 다발(正則vector다발, 영어: holomorphic vector bundle) 또는 해석적 벡터 다발(解析的vector다발, 영어: analytic vector bundle)은 복소다양체 위에 정의된, 사영 사상이 정칙 함수인 복소수 벡터 다발이다.^[1]

정의

${\displaystyle M}$이 복소다양체이고, 그 위에 ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$이 복소수 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle E}$ 또한 복소다양체를 이룬다. 만약 사영 ${\displaystyle \pi }$가 복소다양체 사이의 정칙 함수라면, ${\displaystyle E}$를 정칙 벡터 다발이라고 한다.

마찬가지로, ${\displaystyle \pi }$의 단면 ${\displaystyle s\colon M\to E}$가 정칙 함수라면, 이를 ${\displaystyle \pi }$의 정칙 단면(正則斷面, 영어: holomorphic section)이라고 한다. 정칙 벡터 다발 ${\displaystyle E}$의 정칙 단면들의 모임은 국소 자유 가군층을 이루며, ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$라고 쓴다. 만약 ${\displaystyle E}$가 자명한 복소수 선다발 ${\displaystyle {\underline {\mathbb {C} }}}$라면, ${\displaystyle {\mathcal {O}}({\underline {\mathbb {C} }})}$는 ${\displaystyle M}$의 구조층(영어: structure sheaf) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$과 같다.

연산

정칙 벡터 다발 ${\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M}$이 주어졌을 때, 정칙 벡터 다발

${\displaystyle \pi ^{*}\colon E^{*}\twoheadrightarrow M}$

을 정의할 수 있다. 그 올

${\displaystyle E_{x}^{*}=\hom _{\mathbb {C} }(E_{x},\mathbb {C} )}$

은 ${\displaystyle E_{x}}$의 복소수 쌍대 공간이다.

반면, 정칙 벡터 다발의 켤레 벡터 다발은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.

성질

정칙 벡터 다발 ${\displaystyle E\to M}$의 코호몰로지 ${\displaystyle H^{\bullet }(-,{\mathcal {O}}(E))}$는 그 해석적 단면들의 층 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$의 층 코호몰로지다. 이 경우, 낮은 차수의 코호몰로지 군은 다음을 나타낸다.

• ${\displaystyle H^{0}(M,{\mathcal {O}}(E))}$는 ${\displaystyle E}$의 해석적 단면들의 덧셈에 대한 아벨 군이다.
• ${\displaystyle H^{1}(M,{\mathcal {O}}(E))}$는 자명 선다발의 ${\displaystyle E}$에 대한 확대들의 아벨 군이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 이루는 해석적 벡터 다발 ${\displaystyle F}$들로 구성된다.

  ${\displaystyle 0\to E\to F\to M\times \mathbb {C} \to 0}$

정칙 접속

복소다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 복소수 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$ 위의 벡터 다발 접속 ${\displaystyle \nabla }$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는 매끄러운 함수 위에 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle \nabla \colon \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} E)\to \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} ^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }E)=\Omega ^{1}(E)}$

그런데 복소다양체에서 쌍대접공간 ${\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{*}M}$의 복소화 ${\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$는 다음과 같이 분해된다.

${\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathrm {T} _{x}^{(0,1)*}M\oplus \mathrm {T} _{x}^{(1,0)*}M}$

즉,

${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }E=(\mathrm {T} ^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )\otimes _{\mathbb {C} }E=(\mathrm {T} ^{(0,1)*}M\otimes _{\mathbb {C} }E)\oplus (\mathrm {T} ^{(1,0)*}M\otimes _{\mathbb {C} }E)}$

와 같은 분해가 존재한다. 이에 따라, 벡터 다발 접속 ${\displaystyle \nabla }$ 역시 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.

${\displaystyle \nabla ^{(1,0)}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{1,0}(M;E)}$

${\displaystyle \nabla ^{(0,1)}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{0,1}(M;E)}$

이제, ${\displaystyle E}$가 정칙 벡터 다발이라고 추가로 가정하자. 그렇다면, 그 단면에는

${\displaystyle {\bar {\partial }}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{0,1}(M;E)}$

가 잘 정의된다. (이는 ${\displaystyle E}$의 국소 자명화에서 모든 전이 사상이 정칙 함수이기 때문이다. 반면, ${\displaystyle \partial \colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{1,0}(M;E)}$는 잘 정의되지 않는다. 물론, 만약 ${\displaystyle E}$가 “반정칙 벡터 다발”일 경우, 반대로 ${\displaystyle \partial }$이 정의되며 ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$이 정의되지 않는다.) 만약

${\displaystyle \nabla ^{(0,1)}={\bar {\partial }}}$

이라면, 접속 ${\displaystyle \nabla }$를 정칙 접속(영어: holomorphic connection)이라고 한다.

에르미트 계량

에르미트 계량 ${\displaystyle \langle -,-\rangle }$를 갖춘 복소수 벡터 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$의 경우, 에르미트 접속의 개념이 존재한다. 만약 ${\displaystyle E}$가 추가로 정칙 벡터 다발일 경우, 정칙 접속이자 에르미트 접속인 벡터 다발 접속의 개념을 생각할 수 있다. 이러한 접속은 항상 유일하게 존재하며, 이를 천 접속([陳]接續, 영어: Chern connection)이라고 한다. 천 접속의 곡률은 (1,1)차 복소수 미분 형식이다.

만약 ${\displaystyle E}$가 켈러 다양체의 정칙 접다발인 경우, 천 접속은 리만 계량으로 유도되는 레비치비타 접속과 같다.

정칙 선다발 ${\displaystyle \pi \colon L\to M}$의 국소 자명화

${\displaystyle \phi _{i}\colon \pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathbb {C} }$

가 주어졌다고 하고, 그 전이 함수가

${\displaystyle g_{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to \mathbb {C} ^{\times }}$

라고 하자. 이 경우, 에르미트 계량은 항상

${\displaystyle \langle s,t\rangle (z)=\exp(2a_{i}(z)){\bar {s}}t\qquad \forall s,t\in \Gamma (U_{i},L)}$

${\displaystyle a_{i}\colon U_{i}\to \mathbb {R} }$

이게 놓을 수 있으며, 에르미트 계량의 조건은

${\displaystyle a_{j}(x)=a_{i}(x)+\ln |g_{ij}|\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j}}$

인 것이다. 이 경우, 천 접속의 곡률은

${\displaystyle F\upharpoonright U_{i}=-{\frac {1}{2}}\mathrm {i} \partial {\bar {\partial }}a_{i}}$

로 주어진다.

예

정칙 접다발

복소다양체 ${\displaystyle M}$의 접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} M}$을 생각하자. 그 위에 복소구조 ${\displaystyle J\colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} M}$가 작용하며, 이는 정의에 따라 ${\displaystyle J^{2}=-1}$을 만족시킨다. 즉,

${\displaystyle J\colon \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} \to \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} }$

의 고윳값은 ${\displaystyle \pm \mathrm {i} }$이며, 이에 의하여

${\displaystyle \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} =\mathbb {T} ^{+}M\oplus \mathrm {T} ^{-}M}$

으로 분해된다. 이 경우, ${\displaystyle \mathrm {T} ^{+}M}$은 정칙 접다발(영어: holomorphic tangent bundle)이라고 하며, 정칙 벡터 다발이다. (반면, ${\displaystyle \mathrm {T} ^{-}M}$은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.)

대수적 벡터 다발

비특이 복소수 대수다양체 ${\displaystyle X}$ 위의 대수적 벡터 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응되는 복소다양체 ${\displaystyle X^{\operatorname {an} }}$ 및 복소다양체 사이의 정칙 함수 ${\displaystyle E^{\operatorname {an} }\twoheadrightarrow X^{\operatorname {an} }}$를 취할 수 있다. 이 경우, 이는 정칙 벡터 다발을 이룬다.

반대로, 만약 ${\displaystyle X}$가 추가로 사영 대수다양체라면, ${\displaystyle X^{\operatorname {an} }}$ 위의 모든 정칙 벡터 다발은 ${\displaystyle X}$ 위의 대수적 벡터 다발에서 유래한다. 이는 가가 정리의 한 경우이다.

자명한 다발

복소수 벡터 공간 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 위의 자명한 복소수 벡터 다발

${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {C} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {C} ^{n}}$

은 (자명하게) 정칙 벡터 다발이다.

역사

에르미트 정칙 벡터 다발의 천 접속은 천싱선이 도입하였다.

같이 보기

• 버코프-그로텐디크 정리
• 세르 쌍대성