가네아 추측

가네아 추측(Ganea's conjecture)은 대수적 위상수학의 명제 중 하나로, 반례가 발견되어 거짓임이 밝혀졌다.

역사

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 류스테르니크-시니렐만 범주 ${\displaystyle \operatorname {cat} (X)}$에는 다음과 같은 성질이 있다:

• ${\displaystyle \operatorname {cat} (X\times Y)\leq \operatorname {cat} (X)+\operatorname {cat} (Y)}$
• ${\displaystyle \operatorname {cat} (S^{n})=1}$ (단, ${\displaystyle S^{n}}$는 n차원 구)

그러므로 ${\displaystyle \operatorname {cat} (X\times S^{n})\leq \operatorname {cat} (X)+1}$이 성립한다.

1971년 투도르 가네아(영어판)는 여기서 등식이 성립한다고 추측했다.^[1]

가네아 추측 (반증됨)

임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$와 자연수 ${\displaystyle n>0}$에 대해 다음이 성립한다:

${\displaystyle \operatorname {cat} (X\times S^{n})=\operatorname {cat} (X)+1}$

하지만 1998년 이와세 노리오가 위 명제에 대한 반례를 발견하였으며,^[2] 2002년에는 ${\displaystyle X}$가 닫힌 매끄러운 다양체일 경우에도 반례가 존재함을 보였다.^[3]

정확히 어떤 공간 ${\displaystyle X}$에 대해서 등식이 성립하는지는 아직 밝혀져 있지 않다.