구 (기하학)

기하학에서, 구(球, sphere)는 한 점과의 거리가 같은, '모든 점에서 동일한 거리를 가지는 3차원 공간 위의 점들의 집합'이자 폐곡선으로 둘러싸인 2차원 평면(폐곡면)이다. '구'라는 이름은 공이란 의미의 한자에서 왔지만, 수학에서의 구는 속이 비어 있는 '구면'을, 공은 속이 차 있는 '구체'를 가리키는 말이다.

구

데카르트 좌표계에서는 중심이 (a, b, c)이고 반지름이 r인 구를

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}}$

라는 방정식으로 나타낼 수 있다. 두 개의 매개변수 θ ∈ [0, 2π], φ ∈ [0, π]를 이용하여

${\displaystyle x=a+r\cos \theta \cos \varphi }$

${\displaystyle y=b+r\sin \theta \cos \varphi }$

${\displaystyle z=c+r\sin \varphi }$

로 표현할 수도 있다.

구의 부피

단면적의 적분을 이용한 증명

원의 방정식 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2},(y\geq 0)}$을 이용하여 구의 부피를 구해보자.

원의 방정식을 ${\displaystyle y\geq 0}$로 한정하면 함수 ${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$를 만들 수 있다.

반구의 부피 V는 다음과 같이 반구의 단면적을 적분한 값이다.

${\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(x)dx}$

단면적 함수 A(x)는 함수 ${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$의 함숫값을 반지름으로 하여 제곱하고 ${\displaystyle \pi }$를 곱한 값이므로

${\displaystyle A(x)=\pi (r^{2}-x^{2})}$이다.

따라서 ${\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(x)dx=\int _{0}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx}$

${\displaystyle =[\pi r^{2}x]_{0}^{r}-[\pi {\frac {1}{3}}\ x^{3}]_{0}^{r}=\pi r^{3}-{\frac {1}{3}}\pi r^{3}={\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$이다.

구의 부피는 ${\displaystyle 2V}$이므로 반지름이 ${\displaystyle r}$인 구의 부피는 ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$이다.

원통셸 방법을 이용한 증명

1사분면 위의 원 ${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}(x\geq 0)}$을 y축에 대해 회전하여 생긴 회전체인 반구의 부피 V는

${\displaystyle V=\int _{0}^{r}2\pi x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}dx}$

${\displaystyle =-{\frac {2}{3}}\pi [(r^{2}-x^{2})^{\frac {3}{2}}]_{0}^{r}=-{\frac {2}{3}}\pi (0-r^{3})={\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$

따라서 구의 부피는 ${\displaystyle 2V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$이다.

질량 중심 및 파푸스-굴딘 정리를 이용한 증명

원의 방정식 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}(y\geq 0)}$의 그래프는 함수 ${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$의 그래프이므로, ${\displaystyle y=f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$라 하자. 이때 이 그래프를 x축에 대해 회전했을 때의 회전체인 구의 부피를 구해보자.

먼저, 질량 중심 좌표 ${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})}$를 구한다.

함수 ${\displaystyle f(x)}$는 y축을 기준으로 좌우대칭이기 때문에, ${\displaystyle {\bar {x}}}$의 좌표는 0이다.

${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {{\frac {1}{2}}(\int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx)}{{\frac {1}{2}}\pi r^{2}}}={\frac {(\int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx)}{\pi r^{2}}}}$

${\displaystyle ={\frac {\frac {4r^{3}}{3}}{\pi r^{2}}}={\frac {4r}{3\pi }}}$이므로

질량 중심 좌표 ${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})=(0,{\frac {4r}{3\pi }})}$이다.

파푸스-굴딘 정리에 의하여 x축에 대해 한바퀴 회전할 때 회전체의 부피 V는

${\displaystyle V=2\pi {\bar {y}}\mathrm {A} }$ (A는 영역의 넓이) 이므로

${\displaystyle V=2\pi \cdot {\frac {4r}{3\pi }}\cdot {\frac {1}{2}}\pi r^{2}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$이다.

따라서 구의 부피는 ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$이다.

부피비

밑면의 반지름이 ${\displaystyle r}$인 구의 부피는 ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$이고,

밑면의 반지름이 ${\displaystyle r}$이고, 높이가 ${\displaystyle h}$인 원뿔과 원기둥의 부피는 각각 ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$, ${\displaystyle \pi r^{2}h}$이다.

${\displaystyle h=2r}$이면 원뿔과 원기둥의 부피는 각각 ${\displaystyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$, ${\displaystyle 2\pi r^{3}}$이 된다.

따라서, 한 변의 길이가 ${\displaystyle 2r}$인 정육면체에 내접하는 원뿔, 구, 원기둥의 부피의 비는

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}:{\frac {4}{3}}\pi r^{3}:2\pi r^{3}=1:2:3}$

구의 표면적

밑면의 넓이가 아주 작고 밑면의 반지름과 높이가 같은 원뿔이 있다고 하자.

그러면 그 원뿔이 한 점을 중심으로 모여 구를 이루었다고 할 수 있으므로 (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 부피) : (구의 부피) = (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 밑면의 넓이) : (구의 겉넓이)가 된다.

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{3}:{\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\pi r^{2}:S}$

따라서 겉넓이 ${\displaystyle S=4\pi r^{2}}$이 된다.

일반화

구의 정의를 확장하여 ${\displaystyle n}$차원의 구를 생각할 수 있다. 예를 들어 3차원에서의 구에 해당하는 도형은 2차원에서는 원, 1차원에서는 중점을 기준으로 같은 거리만큼 떨어져 있는 두 점이라고 할 수 있다.

수학적으로는 이러한 일반적인 구를 ${\displaystyle S^{n}}$으로 표시하고, 정의는 ${\displaystyle (n+1)}$차원 유클리드 공간에서 중심점과의 거리가 같은 점들의 집합이다. 이 정의에 따라 ${\displaystyle S^{1}}$은 원, ${\displaystyle S^{2}}$는 구가 된다.

같이 보기

• 원