구 (기하학)

기하학에서, 구(球, 영어: sphere)는 곡선인 원과 유사한 2차원 곡면으로, 3차원 공간에서 주어진 한 점으로부터 같은 거리 ${\displaystyle r}$만큼 떨어진 점들로 이루어진 집합이다. 여기서 주어진 한 점을 구의 중심이라 하고, 거리 ${\displaystyle r}$를 구의 반지름이라 한다. 수학에서 구는 속, 즉 내부가 없는 도형이며, 내부를 포함하는 도형은 공이라 한다.

구
종류	매끄러운 곡면 대수곡면
χ	2
대칭군	O(3)
표면적	4πr2
부피	⁠4/3⁠πr3

데카르트 좌표계에서는 중심이 (a, b, c)이고 반지름이 r인 구를 다음의 방정식으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}}$

방정식이 2차 다항식으로 표현되기 때문에 구는 대수 곡면의 일종인 이차 곡면이다.

구면 좌표계에서는 두 개의 매개변수 θ ∈ [0, 2π], φ ∈ [0, π]를 이용하여 다음처럼 나타낼 수 있다.

${\displaystyle x=a+r\cos \theta \cos \varphi }$

${\displaystyle y=b+r\sin \theta \cos \varphi }$

${\displaystyle z=c+r\sin \varphi }$

구의 부피

단면적의 적분을 이용한 증명

원의 방정식 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2},(y\geq 0)}$을 이용하여 구의 부피를 구해보자.

원의 방정식을 ${\displaystyle y\geq 0}$로 한정하면 함수 ${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$를 만들 수 있다.

반구의 부피 V는 다음과 같이 반구의 단면적을 적분한 값이다.

${\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(x)dx}$

단면적 함수 A(x)는 함수 ${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$의 함숫값을 반지름으로 하여 제곱하고 ${\displaystyle \pi }$를 곱한 값이므로

${\displaystyle A(x)=\pi (r^{2}-x^{2})}$이다.

따라서 ${\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(x)dx=\int _{0}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx}$

${\displaystyle =[\pi r^{2}x]_{0}^{r}-[\pi {\frac {1}{3}}\ x^{3}]_{0}^{r}=\pi r^{3}-{\frac {1}{3}}\pi r^{3}={\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$이다.

구의 부피는 ${\displaystyle 2V}$이므로 반지름이 ${\displaystyle r}$인 구의 부피는 ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$이다.

원통셸 방법을 이용한 증명

1사분면 위의 원 ${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}(x\geq 0)}$을 y축에 대해 회전하여 생긴 회전체인 반구의 부피 V는

${\displaystyle V=\int _{0}^{r}2\pi x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}dx}$

${\displaystyle =-{\frac {2}{3}}\pi [(r^{2}-x^{2})^{\frac {3}{2}}]_{0}^{r}=-{\frac {2}{3}}\pi (0-r^{3})={\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$

따라서 구의 부피는 ${\displaystyle 2V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$이다.

질량 중심 및 파푸스-굴딘 정리를 이용한 증명

원의 방정식 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}(y\geq 0)}$의 그래프는 함수 ${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$의 그래프이므로, ${\displaystyle y=f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$라 하자. 이때 이 그래프를 x축에 대해 회전했을 때의 회전체인 구의 부피를 구해보자.

먼저, 질량 중심 좌표 ${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})}$를 구한다.

함수 ${\displaystyle f(x)}$는 y축을 기준으로 좌우대칭이기 때문에, ${\displaystyle {\bar {x}}}$의 좌표는 0이다.

${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {{\frac {1}{2}}(\int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx)}{{\frac {1}{2}}\pi r^{2}}}={\frac {(\int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx)}{\pi r^{2}}}}$

${\displaystyle ={\frac {\frac {4r^{3}}{3}}{\pi r^{2}}}={\frac {4r}{3\pi }}}$이므로

질량 중심 좌표 ${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})=(0,{\frac {4r}{3\pi }})}$이다.

파푸스-굴딘 정리에 의하여 x축에 대해 한바퀴 회전할 때 회전체의 부피 V는

${\displaystyle V=2\pi {\bar {y}}\mathrm {A} }$ (A는 영역의 넓이) 이므로

${\displaystyle V=2\pi \cdot {\frac {4r}{3\pi }}\cdot {\frac {1}{2}}\pi r^{2}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$이다.

따라서 구의 부피는 ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$이다.

부피비

밑면의 반지름이 ${\displaystyle r}$인 구의 부피는 ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$이고,

밑면의 반지름이 ${\displaystyle r}$이고, 높이가 ${\displaystyle h}$인 원뿔과 원기둥의 부피는 각각 ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$, ${\displaystyle \pi r^{2}h}$이다.

${\displaystyle h=2r}$이면 원뿔과 원기둥의 부피는 각각 ${\displaystyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$, ${\displaystyle 2\pi r^{3}}$이 된다.

따라서, 한 변의 길이가 ${\displaystyle 2r}$인 정육면체에 내접하는 원뿔, 구, 원기둥의 부피의 비는

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}:{\frac {4}{3}}\pi r^{3}:2\pi r^{3}=1:2:3}$

구의 표면적

밑면의 넓이가 아주 작고 밑면의 반지름과 높이가 같은 원뿔이 있다고 하자.

그러면 그 원뿔이 한 점을 중심으로 모여 구를 이루었다고 할 수 있으므로 (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 부피) : (구의 부피) = (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 밑면의 넓이) : (구의 겉넓이)가 된다.

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{3}:{\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\pi r^{2}:S}$

따라서 겉넓이 ${\displaystyle S=4\pi r^{2}}$이 된다.

일반화

구의 정의를 확장하여 ${\displaystyle n}$차원의 구를 생각할 수 있다. 예를 들어 3차원에서의 구에 해당하는 도형은 2차원에서는 원, 1차원에서는 중점을 기준으로 같은 거리만큼 떨어져 있는 두 점이라고 할 수 있다.

수학적으로는 이러한 일반적인 구를 ${\displaystyle S^{n}}$으로 표시하고, 정의는 ${\displaystyle (n+1)}$차원 유클리드 공간에서 중심점과의 거리가 같은 점들의 집합이다. 이 정의에 따라 ${\displaystyle S^{1}}$은 원, ${\displaystyle S^{2}}$는 구가 된다.

같이 보기

• 원