가우스-뤼카 정리

복소해석학에서, 가우스-뤼카 정리(영어: Gauss–Lucas theorem)는 복소수 다항식의 임계점이 영점의 볼록 껍질에 놓인다는 정리이다.

정의

복소수 다항식 ${\displaystyle p\in \mathbb {C} [z]}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 도함수 ${\displaystyle p'}$의 영점은 ${\displaystyle p}$의 영점의 볼록 껍질에 속한다. 이를 가우스-뤼카 정리라고 한다.

증명

다음과 같은 명제를 보이는 것으로 족하다.^[1]

• 만약 ${\displaystyle p}$의 모든 영점이 어떤 반평면 ${\displaystyle H\subseteq \mathbb {C} }$에 속한다면, ${\displaystyle p'}$의 모든 영점 역시 ${\displaystyle H}$에 속한다.

이를 위해 ${\displaystyle p}$의 (중복도를 고려한) 영점을 ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$이라고 하고, ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in H}$라고 하자. 또한 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus H}$라고 하자. 그러면 ${\displaystyle p(z)\neq 0}$이므로, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\frac {p'(z)}{p(z)}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{k}}}}$

이는 ${\displaystyle p}$에 로그를 취한 뒤 ${\displaystyle z}$에서의 도함수를 취하여 얻는다. ${\displaystyle H}$는 어떤 유향 직선 ${\displaystyle t\mapsto a+bt}$의 오른쪽 반평면이며, 다음과 같은 방정식을 갖는다.

${\displaystyle H=\left\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} {\frac {z-a}{b}}<0\right\}}$

따라서, 각 ${\displaystyle k\in \{1,\dots ,n\}}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Im} {\frac {z-a_{k}}{b}}=\operatorname {Im} {\frac {z-a}{b}}-\operatorname {Im} {\frac {a_{k}-a}{b}}>0}$

역수의 허수부는 부호가 반대되므로, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Im} {\frac {b}{z-a_{k}}}<0}$

이에 따라 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Im} {\frac {bp'(z)}{p(z)}}=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Im} {\frac {b}{z-a_{k}}}<0}$

즉, ${\displaystyle p'(z)\neq 0}$이다.

역사

카를 프리드리히 가우스와 에두아르 뤼카가 각각 독립적으로 제시하였다.

같이 보기

• 마든 정리