마든 정리

수학에서 마든 정리(영어: Marden's theorem)는 복소수 3차 다항식의 두 임계점이 세 영점이 이루는 삼각형에 세 변의 중점에서 내접하는 타원의 초점이라는 정리이다.

삼각형과 그 슈타이너 내접 타원. 검은색 점은 3차 다항식 p(z)의 영점, 빨간 점은 도함수 p'(z)의 영점, 가운데 연두색 점은 이계 도함수 p''(z)의 영점, 나머지 세 연두색 점은 삼각형의 변의 중점을 나타낸다. 마든 정리에 따르면, 빨간 점은 연두색 타원의 두 초점이다.

정의

주어진 삼각형의 세 변의 중점을 지나는 내접 타원은 항상 유일하게 존재한다. 이를 삼각형의 슈타이너 내접 타원이라고 한다.

복소수 3차 다항식 ${\displaystyle p(z)\in \mathbb {C} [z]}$의 영점을 ${\displaystyle a,b,c}$, 임계점을 ${\displaystyle f,f'}$라고 하자. 또한, ${\displaystyle a,b,c}$가 공선점이 아니라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle f,f'}$는 ${\displaystyle a,b,c}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 슈타이너 내접 타원의 두 초점이다. 이를 마든 정리라고 한다.

증명

편의상 ${\displaystyle p(z)}$가 일계수 다항식이며, ${\displaystyle a+b+c=0}$이라고 하자.^[1] 그렇다면, ${\displaystyle f+f'=0}$이며, ${\displaystyle p(z)}$와 도함수 ${\displaystyle p'(z)}$는 다음과 같다.

${\displaystyle p(z)=(z-a)(z-b)(z-c)}$

${\displaystyle p'(z)=3(z+f)(z-f)=(z-a)(z-b)+(2z-(a+b))(z-c)}$

한 변의 중점 ${\displaystyle z'=(a+b)/2}$와 두 초점 ${\displaystyle -f,f}$ 사이의 거리의 합

${\displaystyle |z'+f|+|z'-f|}$

을 생각하자. 이를 평행사변형 법칙을 사용하여 구하면 다음과 같다.

${\displaystyle 2(|z'+f|+|z'-f|)^{2}}$	${\displaystyle =2|z'+f|^{2}+2|z'-f|^{2}+4|(z'+f)(z'-f)|}$
	${\displaystyle =4|z'|^{2}+4|f|^{2}+{\frac {1}{3}}|a-b|^{2}}$	(평행사변형 법칙 및 ${\displaystyle p'(z')=-((a-b)/2)^{2}}$)
	${\displaystyle =|a+b|^{2}+4|f|^{2}+{\frac {1}{3}}|a-b|^{2}}$
	${\displaystyle ={\frac {2}{3}}|a+b|^{2}+{\frac {2}{3}}(|a|^{2}+|b|^{2})+4|f|^{2}}$	(평행사변형 법칙)
	${\displaystyle ={\frac {2}{3}}(|a|^{2}+|b|^{2}+|c|^{2})+4|f|^{2}}$	(${\displaystyle a+b=-c}$)

즉, 변의 중점과 ${\displaystyle -f,f}$ 사이의 거리의 합은 변의 선택과 무관하다. 따라서, ${\displaystyle -f,f}$는 ${\displaystyle a,b,c}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 슈타이너 내접 타원의 초점이다.

역사

이외르크 지베크(독일어: Jörg Siebeck)가 증명하였다. 모리스 마든(영어: Morris Marden)의 이름을 따 명명되었다.

같이 보기

• 가우스-뤼카 정리