3차원 특수 유니터리 군

리 군론에서 3차원 특수 유니터리 군 SU(3)는 행렬식이 1인 3×3 유니터리 행렬들의 리 군이다.^[1][2]

정의

단순 리 군의 분류에서, ${\displaystyle {\mathsf {A}}_{2}}$형의 딘킨 도표는 콤팩트 리 군 ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ 또는 ${\displaystyle \operatorname {SL} (3;\mathbb {R} )=\operatorname {SU} (1,2)}$에 대응한다.

이는 다음과 같은 실수 형식을 갖는다.

기호	설명	기본군	중심	극대 콤팩트 부분군	사타케 도표	보건 도표
SU(3)	단일 연결 콤팩트 형식	0	Cyc(3)	SU(3)	${\displaystyle \bullet -\bullet }$	${\displaystyle \circ -\circ }$
PSU(3)	무중심 콤팩트 형식	Cyc(3)	0	PSU(3)
SL(3;ℝ)	분할 형식	0	Cyc(2)	SO(3;ℝ)	${\displaystyle \circ -\circ }$	${\displaystyle \underbrace {\circ -\circ } }$
${\displaystyle \operatorname {\widetilde {SL}} (3;\mathbb {R} )}$	분할 형식	Cyc(2)	0	Spin(3)
SU(1,2)		Cyc(∞)	Cyc(3)	U(2)	${\displaystyle \underbrace {\circ -\circ } }$	${\displaystyle \bullet -\circ }$
PSU(1,2)		Cyc(∞)⊕Cyc(3)	0	PU(2)
${\displaystyle \operatorname {\widetilde {SU}} (1,2)}$		0	Cyc(∞)⊕Cyc(3)	${\displaystyle \operatorname {\tilde {U}} (2)}$

성질

위상수학적 성질

${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$는 8차원 연결 단일 연결 콤팩트 매끄러운 다양체이다.

표현론

SU(3)은 정의 표현 ${\displaystyle \mathbf {3} }$ 및 그 복소수 켤레 ${\displaystyle {\bar {\mathbf {3} }}}$ 및 딸림표현 ${\displaystyle \mathbf {8} }$을 갖는다. 이들 사이의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {3} \otimes {\bar {\mathbf {3} }}=\mathbf {8} \oplus \mathbf {1} }$

${\displaystyle \mathbf {3} \otimes \mathbf {3} =\mathbf {6} \oplus {\bar {\mathbf {3} }}}$

여기서 ${\displaystyle \mathbf {6} }$는 복소수 대칭 행렬에 해당한다.

SU(3)의 모든 표현은 두 자연수 ${\displaystyle (p,q)}$로 유일하게 결정되며, 이는 ${\displaystyle \mathbf {3} ^{\otimes p}\otimes {\bar {\mathbf {3} }}^{\otimes q}}$ 속의 최고 무게 표현이다. ${\displaystyle (p,q)}$차 표현의 차원은

${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}(p+1)(q+1)(p+q+2)}$

이다. ${\displaystyle p}$개의 길이 1의 열과 ${\displaystyle q}$개의 길이 2의 열로 구성된 영 타블로에 대응된다. 이 가운데 ${\displaystyle p=q}$인 표현은 실수 표현이며, 아닌 경우는 복소수 표현이다. 복소수 표현의 켤레 표현은 ${\displaystyle p}$와 ${\displaystyle q}$를 맞바꾸는 것에 해당한다.

낮은 차원의 표현은 다음과 같다.

기호	(p,q)	설명	영 타블로
1	(0,0)	자명한 표현
3	(1,0)	정의(定義) 표현	□
3	(0,1)	반정의(反定義) 표현	□ □
6	(2,0)		□□
6	(0,2)		□□ □□
8	(1,1)	딸림표현	□□ □
10	(3,0)		□□□
10	(0,3)		□□□ □□□
15	(2,1)		□□□ □
15	(1,2)		□□□ □□
15′	(4,0)		□□□□
15′	(0,4)		□□□□ □□□□
21	(5,0)		□□□□□
21	(0,5)		□□□□□ □□□□□
24	(3,1)		□□□□ □
24	(1,3)		□□□□ □□□
27	(2,2)		□□ □□

리 대수의 기저

겔만 행렬(Gell-Mann行列, 영어: Gell-Mann matrices)은 특수 유니터리 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$의 기본 표현의 표준 기저를 이루는, 8개의 3×3 에르미트 행렬이다. (이는 파울리 행렬이 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$의 표준적인 생성원인 것과 같다.) 이들은 다음과 같다.

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}}$

이들은

${\displaystyle \operatorname {tr} (\lambda _{i}\lambda _{j})=2\delta _{ij}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{8}\lambda _{i}\lambda _{i}={\frac {16}{3}}1_{3\times 3}}$

를 만족시키며, 이 경우, 구조 상수

${\displaystyle [{\tfrac {1}{2}}\lambda _{i},{\tfrac {1}{2}}\lambda _{j}]={\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} f_{ijk}\lambda _{k}}$

는 다음과 같다.

${\displaystyle f_{123}=1}$

${\displaystyle f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle f_{458}=f_{678}={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$

나머지 구조 상수들은 0이다. (즉, ${\displaystyle 8\times 7\times 6/6!=56}$개의 구조 상수 가운데 9개만이 0이 아니다.) 특히, 구조 상수가 0이 아닐 필요 조건은 3개의 지표가 {2,5,7}의 원소를 홀수 개 (즉, 1개 또는 3개) 포함해야 한다는 것이다.

역사

겔만 행렬은 쿼크 모형을 개발하기 위하여 머리 겔만이 도입하였다.^[3]

응용

SU(3)은 3개의 맛깔의 쿼크(u, d, s)에 대한 맛깔 대칭의 리 군으로서 이론물리학에 등장하며, 강입자들은 그 유한 차원 표현을 이룬다.