리 이론적 성질
유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.

이에 대하여 유니터리 군의 바일 군은 대칭군
이며, 이는 원환면을 정의하는 기저 집합에 순열로 작용한다.
위상수학적 성질
모든 양의 정수
에 대하여, 유니터리 군
은 연결 실수 콤팩트 리 군이며, 그 기본군은 무한 순환군이다.


유한 차원 유니터리 군은 같은 차원의 복소수 일반선형군과 호모토피 동치이다.

호프 올뭉치

로 인하여, 만약
이라면

이다.[1]:112 즉, 유니터리 군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.[1]:113

이 주기성을 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이라고 한다.
불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.
자세한 정보 군, π1 ...
군 |
π1 |
π2 |
π3 |
π4 |
π5 |
π6 |
π7 |
π8 |
π9 |
π10 |
π11 |
π12 |
U(1) | ℤ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
U(2) |
ℤ |
0 |
ℤ |
ℤ2 | ℤ2 | ℤ12 | ℤ2 | ℤ2 | ℤ3 | ℤ15 | ℤ2 | (ℤ2)2 |
U(3) | ℤ | 0 | ℤ |
0 |
ℤ |
ℤ6 |
U(4) | ℤ | 0 | ℤ | 0 | ℤ |
0 |
ℤ |
U(5) | ℤ | 0 | ℤ | 0 | ℤ | 0 | ℤ |
0 |
ℤ |
U(6) | ℤ | 0 | ℤ | 0 | ℤ | 0 | ℤ | 0 | ℤ |
0 |
ℤ |
닫기
이에 따라, 다음과 같은 무한 유니터리 군
을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.

무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.

이에 따라, 무한 유니터리 군은 스스로의 2차 고리 공간과 호모토피 동치이다.[1]:112, Theorem 1

무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간
의 유니터리 군
는
와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때,
는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.[2]

포함 관계
유니터리 군 U(1)은 원군이다. 이는 1차원 콤팩트 아벨 군이며, SO(2)와 같다. 이는 위상수학적으로 원
이다.