고윳값 행렬

고유값 행렬(eigenvalue matrix)은 고유벡터와 함께 임의의 대상이되는 행렬의 특성을 보여주는 정보를 갖고있는 행렬이다.

어떤 행렬의 고유값 분해에서 그 고유값행렬은 계수 행렬의 특수한 경우이다.

고유값 행렬식과 판별식

실수 ${\displaystyle 2\times 2}$ 행렬을 예약하고

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

의 고유값 행렬식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(xI-A)&={\begin{pmatrix}x-a&-b\\-c&x-d\end{pmatrix}}\\&=x^{2}-(a+d)x+(ad-bc)\\&=x^{2}-\operatorname {tr} Ax+\det A\end{aligned}}}$

이어서 판별식은 다음과 같다.

${\displaystyle \Delta =\operatorname {tr} ^{2}A-4\det A}$

여기서 ${\displaystyle tr=}$ 대각합 ${\displaystyle \det =}$ 행렬식 ${\displaystyle I}$는 단위행렬

예

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-5&4\\0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(xI-A)&={\begin{pmatrix}x-(-5)&-4\\-0&x-(1)\end{pmatrix}}\\&=x^{2}-(-5+1)x+(-5-0)\\&=x^{2}+4x-5\end{aligned}}}$

${\displaystyle x^{2}+4x-5=0}$

${\displaystyle x=1\;,\;-5}$

이어서

${\displaystyle x=-5}$일때,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}(-5)-(-5)&-4\\-0&(-5)-(1)\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-4\\0&-6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle -4x_{2}=0}$

${\displaystyle -6x_{2}=0}$

${\displaystyle x_{2}=0}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\0\end{pmatrix}}=x_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle x=1}$일때,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}(1)-(-5)&-4\\-0&(1)-(1)\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}6&-4\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle 6x_{1}+-4x_{2}=0}$

${\displaystyle 6x_{1}=4x_{2}}$

${\displaystyle x_{1}={{4x_{2}} \over {6}}}$

${\displaystyle x_{1}={{2} \over {3}}x_{2}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{{2} \over {3}}x_{2}\\x_{2}\end{pmatrix}}=x_{2}{\begin{pmatrix}{{2} \over {3}}\\1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&{{2} \over {3}}\\0&1\\\end{pmatrix}}}$

고유 벡터의 순서에서 고유벡터행렬 ${\displaystyle P}$를 얻고 ,

이어서

${\displaystyle P^{-1}AP=A^{D}}$

로부터 대각화 행렬 ${\displaystyle A^{D}}$ 을 얻는다.

같이 보기

• 행렬 분해
• 미분 방정식
• 차분 방정식
• Z변환

참고

• 매스월드
• 매스월드