관계 (수학)

수학에서, 관계(關係, 영어: relation)는 유한 개의 원소에 대하여 정의되는 성질을 나타내는 개념이다. 구체적으로, ${\displaystyle n}$항 관계는 ${\displaystyle n}$개 집합의 곱집합의 부분 집합이며, ${\displaystyle n}$개의 원소의 튜플이 ${\displaystyle n}$항 관계에 속하는지 여부는 ${\displaystyle n}$개 원소 사이에 이 관계가 성립하는지를 나타낸다.

정의

(유한항) 관계

음이 아닌 정수 ${\displaystyle n}$이 주어졌다고 하자. 집합 ${\displaystyle X}$ 위의 ${\displaystyle n}$항 관계(영어: ${\displaystyle n}$-ary relation)는 ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle n}$번 곱집합

${\displaystyle X^{\times n}=\underbrace {X\times \cdots X} _{n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n})|x_{1},\dots ,x_{n}\in X\}}$

의 부분 집합

${\displaystyle R\subseteq X^{\times n}}$

이다.^[1]:10 만약 ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})\in R}$라면, ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$에 대하여 관계 ${\displaystyle R}$가 성립한다고 한다. 표기 ${\displaystyle R(x_{1},\dots ,x_{n})}$은 ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})\in R}$를 뜻한다.

보다 일반적으로, ${\displaystyle n}$개의 집합 ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ 사이의 (${\displaystyle n}$항) 관계는 곱집합의 부분 집합

${\displaystyle R\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}}$

이다.

작은 항수의 경우는 다음과 같다.

• ${\displaystyle X}$ 위의 영항 관계(零項關係, 영어: nullary relation) ${\displaystyle R\subseteq X^{\times 0}}$. ${\displaystyle X^{\times 0}}$은 한원소 집합이므로, ${\displaystyle R}$는 공집합이거나 한원소 집합이다.
• ${\displaystyle X}$ 위의 단항 관계(單項關係, 영어: unary relation) ${\displaystyle R\subseteq X}$는 단순히 ${\displaystyle X}$의 부분 집합이다.
• ${\displaystyle X}$ 위의 이항 관계(二項關係, 영어: binary relation) ${\displaystyle R\subseteq X\times X}$. 이 경우, 표기 ${\displaystyle xRy}$는 ${\displaystyle (x,y)\in R}$를 뜻한다.
• ${\displaystyle X}$ 위의 삼항 관계(三項關係, 영어: ternary relation) ${\displaystyle R\subseteq X\times X\times X}$

무한항 관계

기수 ${\displaystyle \kappa }$가 주어졌다고 하자. 집합 ${\displaystyle X}$ 위의 ${\displaystyle \kappa }$항 관계는 ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle \kappa }$번 곱집합

${\displaystyle X^{\times \kappa }=\prod _{\alpha <\kappa }X=\{(x_{\alpha })_{\alpha <\kappa }|x_{\alpha }\in X\forall \alpha <\kappa \}}$

의 부분 집합

${\displaystyle R\subseteq X^{\times \kappa }}$

이다.

보다 일반적으로, 임의의 집합 ${\displaystyle I}$가 주어졌을 때, 집합족 ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$ 위의 (${\displaystyle |I|}$항) 관계는 ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$의 곱집합

${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}|x_{i}\in X_{i}\forall i\in I\}}$

의 부분 집합

${\displaystyle R\subseteq \prod _{i\in I}X_{i}}$

이다.

예

이항 관계는 관계의 가장 중요한 종류이다. 이항 관계의 중요한 종류들은 다음과 같다.

• 함수
• 동치 관계
• 원순서·부분 순서·전순서
• 그래프 구조

유클리드 기하학에서, 세 점 ${\displaystyle (A,B,C)}$에 대하여 다음과 같은 삼항 관계들을 정의할 수 있다.

• 점 ${\displaystyle B}$는 점 ${\displaystyle A}$와 점 ${\displaystyle C}$ 사이에 있다.
• 세 점은 한 직선 위에 있다.
• 세 점은 한 직선 위에 있지 않으며, 또한 세 점을 지나는 유일한 원 위에서 차례로 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$를 지나며 도는 방향은 시계 반대 방향이다.