한원소 집합

집합론에서 한원소 집합(한元素集合, 영어: singleton set)은 하나의 원소만을 갖는 집합이다.

정의

집합 ${\displaystyle S}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 한원소 집합이라고 한다.

• 집합의 크기가 1이다.
• ${\displaystyle S\neq \emptyset }$이며, 임의의 ${\displaystyle a,b\in S}$에 대하여, ${\displaystyle a=b}$이다.
• ${\displaystyle S}$는 두 개의 부분 집합을 가진다. 즉, 멱집합 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$의 크기는 2이다.
• 집합과 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$에서의 끝 대상이다. 즉, 임의의 집합 ${\displaystyle T}$에 대하여, ${\displaystyle T}$에서 ${\displaystyle S}$로 가는 함수는 유일하다.
• 임의의 집합 ${\displaystyle T}$ 및 함수 ${\displaystyle f\colon S\to T}$에 대하여, ${\displaystyle f}$는 단사 함수이다.
• 임의의 집합 ${\displaystyle T}$ 및 함수 ${\displaystyle f\colon T\to S}$에 대하여, ${\displaystyle f}$는 전사 함수이다.
• 임의의 집합 ${\displaystyle T}$에 대하여, 곱집합 ${\displaystyle S\times T}$는 ${\displaystyle T}$와 같은 크기를 갖는다. 즉, 전단사 함수 ${\displaystyle \pi _{2}\colon S\times T\to T}$가 존재한다.

한원소 공간

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 한원소 공간(영어: singleton space)이라고 한다.

• 집합으로서 한원소 집합이다.
• 위상 공간과 연속 함수의 범주의 끝 대상이다. 즉, 임의의 위상 공간 ${\displaystyle Y}$에 대하여, 연속 함수 ${\displaystyle X\to Y}$가 유일하게 존재한다.
• ${\displaystyle X\cong \operatorname {Spec} K}$인 체 ${\displaystyle K}$가 존재한다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$은 환의 스펙트럼이다.
• 임의의 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, ${\displaystyle X\cong \operatorname {Spec} K}$이다.
• 이산 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
• 콜모고로프 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
• 하우스도르프 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
• 이산 공간이자 연결 공간이며, 공집합이 아니다.

한원소 대수 구조

임의의 부호수에 대하여, 한원소 집합 위에는 유일한 대수 구조를 줄 수 있다. 예를 들어, 군의 구조를 주면 자명군, 환의 구조를 주면 자명환이 된다. 이는 대수 구조 다양체 범주에서 끝 대상을 이룬다.

같이 보기

• 자명군
• 자명환
• 모임 (집합론)

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Singleton set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.