관성 모멘트 목록

다음은 관성 모멘트와 단면 이차 모멘트의 목록이다.

관성 모멘트

관성 모멘트는 질량 × 길이² 의 차원을 갖는다. 다음의 목록은 한 알갱이(질점)에 대한 관성 모멘트 ${\displaystyle \int r^{2}\,dm}$로부터 유도되었다.

설명	그림	관성 모멘트	비고
반지름이 ${\displaystyle r}$이고 질량이 ${\displaystyle m}$인 속이 빈 위 아래로 뚫려있는 원기둥		${\displaystyle I=mr^{2}\,}$	—
안쪽 반지름이 ${\displaystyle r_{1}}$, 바깥 반지름이 ${\displaystyle r_{2}}$이고 질량이 ${\displaystyle m}$인 두꺼운 원기둥		${\displaystyle I_{z}={\frac {1}{2}}m({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2})}$ ${\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m[3({r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2})+h^{2}]}$ 또는 ${\displaystyle t_{n}={\frac {t}{r}}}$이고 ${\displaystyle r=r_{2}}$라고 하면 ${\displaystyle I_{z}=mr^{2}(1-t_{n}+{\frac {1}{2}}t_{n}^{2})}$	—
반지름 ${\displaystyle r}$, 높이 ${\displaystyle h}$, 질량 ${\displaystyle m}$인 원기둥		${\displaystyle I_{z}={\frac {1}{2}}mr^{2}}$ ${\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m(3r^{2}+h^{2})}$	—
반지름 ${\displaystyle r}$, 질량 ${\displaystyle m}$인 얇은 원판		${\displaystyle I_{z}={\frac {1}{2}}mr^{2}}$ ${\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {1}{4}}mr^{2}}$	—
반지름 ${\displaystyle r}$, 질량 ${\displaystyle m}$인 구		${\displaystyle I={\frac {2}{5}}mr^{2}}$	—
반지름 ${\displaystyle r}$, 질량 ${\displaystyle m}$인 구 껍질		${\displaystyle I={\frac {2}{3}}mr^{2}}$	—
반지름 ${\displaystyle r}$, 높이 ${\displaystyle h}$, 질량 ${\displaystyle m}$인 직원뿔		${\displaystyle I_{z}=(3/10)mr^{2}\,\!}$ ${\displaystyle I_{x}=I_{y}=(3/5)m(r^{2}/4+h^{2})\,\!}$	—
높이 ${\displaystyle h}$, 너비 ${\displaystyle w}$, 깊이 ${\displaystyle d}$, 질량 ${\displaystyle m}$인 직육면체		${\displaystyle I_{h}={\frac {1}{12}}m(w^{2}+d^{2})}$ ${\displaystyle I_{w}={\frac {1}{12}}m(h^{2}+d^{2})}$ ${\displaystyle I_{d}={\frac {1}{12}}m(h^{2}+w^{2})}$	모서리 길이 ${\displaystyle s}$, 질량 ${\displaystyle m}$인 정육면체의 경우, ${\displaystyle I_{CM}={\frac {1}{6}}ms^{2}}$.
길이 ${\displaystyle L}$, 질량 ${\displaystyle m}$인 막대		${\displaystyle I_{center}={\frac {1}{12}}mL^{2}}$	가느다란 선(강체)에 질량이 분포되어 있다고 가정한 근사값임.
길이 ${\displaystyle L}$, 질량 ${\displaystyle m}$인 막대		${\displaystyle I_{end}={\frac {1}{3}}mL^{2}}$	가느다란 선(강체)에 질량이 분포되어 있다고 가정한 근사값임.
반지름 ${\displaystyle a}$, 단면 반지름 ${\displaystyle b}$, 질량 ${\displaystyle m}$인 원환체(토러스)		지름에 대해서: ${\displaystyle {\frac {1}{8}}(4a^{2}+5b^{2})m}$ 수직축에 대해서: ${\displaystyle (a^{2}+{\frac {3}{4}}b^{2})m}$	—
꼭짓점이 ${\displaystyle {\vec {P}}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {P}}_{2}}$, ${\displaystyle {\vec {P}}_{3}}$, ..., ${\displaystyle {\vec {P}}_{N}}$, 질량 ${\displaystyle m}$인 얇은 다각형 판		${\displaystyle I={\frac {m}{6}}{\frac {\sum _{n=1}^{N}||{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}||({\vec {P}}_{n+1}^{2}+{\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n}+{\vec {P}}_{n}^{2})}{\sum _{n=1}^{N}||{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}||}}}$	${\displaystyle {\begin{Vmatrix}{\overrightarrow {P}}_{n}\end{Vmatrix}}}$는 ${\displaystyle {\overrightarrow {P}}_{n}}$의 크기를 이야기하는 것이다.

단면 이차 모멘트

단면 이차 모멘트는 길이⁴ 을 차원으로 갖는다. 아래는 따로 언급하지 않으면, 도심(또는 질량중심)을 지나는 수평축에 대한 단면 이차 모멘트의 목록이다.

설명	그림	단면 이차 모멘트	비고
반지름 ${\displaystyle r\,}$(지름 D)인 원		${\displaystyle I_{0}=\pi r^{4}/4=\pi D^{4}/64}$
안쪽 반지름 ${\displaystyle r_{1}}$, 바깥쪽 반지름 ${\displaystyle r_{2}}$인 가운데가 빈 원		${\displaystyle I_{0}={\frac {1}{4}}\pi ({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4})}$
단면의 도심과 원의 중심을 지나는 수평축에 대해 각도 ${\displaystyle \theta \,}$(라디안), 반지름 ${\displaystyle r\,}$인 원호		${\displaystyle I_{0}=\left(\theta -\sin \theta \right){\frac {r^{4}}{8}}\,}$
반지름 ${\displaystyle r\,}$인 반원		${\displaystyle I_{0}=\left({\frac {\pi }{8}}-{\frac {8}{9\pi }}\right)r^{4}\,}$	단면의 도심을 지나는 축에 대한 값.
반지름 ${\displaystyle r\,}$인 반원		${\displaystyle I=\pi r^{4}/8\,}$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리에 의해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리는 ${\displaystyle 4r/3\pi \,}$).
반지름 ${\displaystyle r\,}$인 반원		${\displaystyle I_{0}=\pi r^{4}/8\,}$	단면의 도심을 지나는 수직축에 대한 값.
반지름 ${\displaystyle r\,}$이고 1사분면에 놓여 있는 사분원		${\displaystyle I=\pi r^{4}/16\,}$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값.
반지름 ${\displaystyle r\,}$이고 1사분면에 놓여 있는 사분원		${\displaystyle I_{0}=\left({\frac {\pi }{16}}-{\frac {4}{9\pi }}\right)r^{4}\,}$	단면의 도심을 지나는 수평 또는 수직축에 대한 값. 평행축 정리에 의해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리는 ${\displaystyle 4r/3\pi \,}$).
x 반지름 ${\displaystyle a\,}$, y 반지름 ${\displaystyle b\,}$인 타원		${\displaystyle I_{0}=\pi ab^{3}/4\,}$
너비 ${\displaystyle b\,}$, 높이 ${\displaystyle h\,}$인 직사각형		${\displaystyle I_{0}=bh^{3}/12\,}$
너비 ${\displaystyle b\,}$, 높이 ${\displaystyle h\,}$인 직사각형		${\displaystyle I=bh^{3}/3\,}$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값.
밑변 ${\displaystyle b\,}$, 높이 ${\displaystyle h}$인 삼각형		${\displaystyle I_{0}=bh^{3}/36\,}$
밑변 ${\displaystyle b\,}$, 높이 ${\displaystyle h}$인 삼각형		${\displaystyle I=bh^{3}/12\,}$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리를 이용해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리 ${\displaystyle h/3\,}$).
한 변의 길이가 ${\displaystyle a\,}$인 육각형		${\displaystyle I_{0}=5{\sqrt {3}}a^{4}/16\,}$	단면의 도심을 지나는 임의의 수직축, 수평축에 대해서 동일하다.

같이 보기

• 평행축 정리
• 수직축 정리

참고 문헌

• 전찬기, 이종헌, 정환호, 김운학, 김경진 (2015). 《토목기사 과년도 시리즈 응용역학》. 성안당. 84-85쪽. ISBN 978-89-315-6807-3. CS1 관리 - 여러 이름 (링크)