교대군

군론에서 교대군(交代群, 영어: alternating group)은 유한 집합의 원소들에 대한 짝순열들로 이루어진 유한군이다. ${\displaystyle n}$개의 원소에 대한 교대군의 기호는 ${\displaystyle A_{n}}$ 또는 ${\displaystyle \operatorname {Alt} (n)}$이다.

정의

대칭군 ${\displaystyle S_{n}}$의 각 원소들은 순열의 홀짝성에 따라 두 부류로 나뉜다. 홀짝성 함수는 군 준동형

${\displaystyle p\colon S_{n}\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

을 이룬다. 교대군 ${\displaystyle A_{n}}$은 이 준동형의 핵이다.

${\displaystyle A_{n}\cong \ker p\triangleleft S_{n}}$

즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 1\to A_{n}\hookrightarrow S_{n}\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to 1}$

성질

${\displaystyle n>1}$인 교대군 ${\displaystyle A_{n}}$은 ${\displaystyle n!/2}$개의 원소를 가지며, ${\displaystyle n<3}$인 경우 교대군은 자명군이다. ${\displaystyle n>1}$인 교대군 ${\displaystyle A_{n}}$은 대칭군 ${\displaystyle S_{n}}$의 교환자 부분군이다.

교대군이 아벨 군일 필요충분조건은 ${\displaystyle n\leq 3}$이다. 단순군일 필요충분조건은 ${\displaystyle n=3}$이거나 ${\displaystyle n\geq 5}$이다.

${\displaystyle A_{4}}$는 클라인 4원군을 정규 부분군으로 가진다.

낮은 차수의 교대군

낮은 차수의 교대군은 다른 군들의 족과 동형인데, 다음과 같다.

교대군	다른 이름
A0, A1, A2	1 (자명군)
A3	${\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$ (순환군)
A4	${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{3})}$
A5	${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{4})\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{5})}$
A6	${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{9})}$
A8	${\displaystyle \operatorname {PSL} (4;\mathbb {F} _{2})}$

외부 링크

• Vil'yams, N. N. (2001). “Alternating group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Alternating group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.