교대급수

미적분학에서 교대급수(交代級數, 영어: alternating series)는 양과 음의 항이 번갈아 가며 나타나는 실수 항 급수다. 교대급수 판정법(交代級數判定法, 영어: alternating series test)에 따르면, 만약 교대급수의 항의 절댓값이 0으로 수렴하는 단조수열이라면, 이 급수는 수렴한다. 교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우다.

정의

교대급수

음이 아닌 실수의 수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$ (${\displaystyle a_{n}\geq 0\forall n\geq 0}$)에 대한 교대급수는 다음 두 급수 가운데 하나를 뜻한다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}=-a_{0}+a_{1}-a_{2}+a_{3}-\cdots }$

교대급수 판정법

음이 아닌 실수의 수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$ (${\displaystyle a_{n}\geq 0\forall n\geq 0}$)에 대하여, 다음 두 조건이 성립한다고 하자.

• 감소수열이다. 즉, ${\displaystyle a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots }$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

그렇다면, 교대급수

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-\cdots }$

는 수렴한다. 또한, 다음 부등식이 성립한다.^[1]:183

${\displaystyle \left|\sum _{i=n}^{\infty }(-1)^{i}a_{i}\right|\leq a_{n}}$

이를 교대급수 판정법이라고 한다.

디리클레 판정법을 통한 증명:

교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우다. 디리클레 판정법에 따르면, 유계 부분합을 갖는 급수의 항과 0으로 수렴하는 단조수열을 곱한 급수는 수렴한다. 급수

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=1-1+1-\cdots }$

는 발산하지만, 이 급수의 부분합은 유계 수열이다. 따라서 디리클레 판정법을 적용할 수 있다.

직접적인 증명:

교대급수의 부분합

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}a_{i}}$

을 생각하자.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n+2}&=S_{n}+(-1)^{n+1}a_{n+1}+(-1)^{n+2}a_{n+2}\\&=S_{n}+(-1)^{n+1}(a_{n+1}-a_{n+2})\end{aligned}}}$

이므로, ${\displaystyle n}$이 홀수일 때 ${\displaystyle S_{n+2}\geq S_{n}}$이며, ${\displaystyle n}$이 짝수일 때 ${\displaystyle S_{n+2}\leq S_{n}}$이다. 즉, ${\displaystyle (S_{2k+1})_{k=0}^{\infty }}$는 증가수열이며, ${\displaystyle (S_{2k})_{k=0}^{\infty }}$은 감소수열이다. 또한,

${\displaystyle S_{2k+1}=S_{2k}+(-1)^{2k+1}a_{2k+1}=S_{2k}-a_{2k+1}\leq S_{2k}}$

이므로,

${\displaystyle S_{1}\leq S_{3}\leq S_{5}\leq \cdots \leq S_{4}\leq S_{2}\leq S_{0}}$

이다. 특히, ${\displaystyle S_{1}}$과 ${\displaystyle S_{0}}$은 수열 ${\displaystyle (S_{n})_{n=0}^{\infty }}$의 하계와 상계이다. 따라서 ${\displaystyle (S_{2k+1})_{k=0}^{\infty }}$과 ${\displaystyle (S_{2k})_{k=0}^{\infty }}$은 모두 유계 수열이다. 모든 단조 유계 수열은 수렴하므로, 두 수열은 수렴한다.

${\displaystyle S=\lim _{k\to \infty }S_{2k+1}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle S'=\lim _{k\to \infty }S_{2k}\in \mathbb {R} }$

라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle 0=\lim _{k\to \infty }a_{2k+1}=\lim _{k\to \infty }(S_{2k}-S_{2k+1})=S-S'}$

이다. 즉, 두 수열의 극한은 같다. 따라서, 교대급수의 부분합 ${\displaystyle (S_{n})_{n=0}^{\infty }}$은 (${\displaystyle S=S'}$으로) 수렴한다. 항상

${\displaystyle 0\leq a_{0}-a_{1}=S_{1}\leq S_{n}\leq S_{0}=a_{0}}$

이므로,

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}a_{i}\right|\leq a_{0}}$

이다. 수열 ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dots )}$을 수열 ${\displaystyle (a_{n},a_{n+1},a_{n+2},\dots )}$로 대체하면 부등식

${\displaystyle \left|\sum _{i=n}^{\infty }(-1)^{i}a_{i}\right|\leq a_{n}}$

을 얻는다.

예

모든 수렴하는 양의 실수 항 급수에 대하여, 이에 대응하는 교대급수는 절대 수렴하며, 특히 수렴한다.

교대급수

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots }$

를 생각하자. 수열 ${\displaystyle (1/n)_{n=0}^{\infty }}$은 감소수열이며, 0으로 수렴한다. 교대급수 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다. 이 교대급수에 대응하는 양의 실수 항 급수는 조화급수이며, 이는 발산한다. 즉, 이 교대급수는 오직 조건 수렴한다. 사실, 이 급수의 합은

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=\ln 2}$

이다. 이는 아벨 극한 정리를 통하여 보일 수 있다.

보다 일반적으로, 교대급수

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{p}\ln ^{q}n}}\qquad (p,q\in \mathbb {R} )}$

를 생각하자.

• 만약 ${\displaystyle p>1}$이거나 ${\displaystyle p=1}$, ${\displaystyle q>1}$이라면, 이 급수는 절대 수렴한다. 이는 적분 판정법을 통하여 보일 수 있다.
• 만약 ${\displaystyle p=1}$, ${\displaystyle q\leq 1}$이거나 ${\displaystyle 0<p<1}$이거나 ${\displaystyle p=0}$, ${\displaystyle q>0}$이라면, 적분 판정법에 따라 이 급수는 절대 수렴하지 않는다. 그러나, 충분히 큰 ${\displaystyle x\gg 1}$에 대하여 ${\displaystyle (x^{-p}\ln ^{-q}x)'=x^{-p-1}\ln ^{-q-1}x(-p\ln x-q)<0}$이므로, ${\displaystyle 1/(n^{p}\ln ^{q}n)}$은 최종적으로 감소 수열이다. 또한 ${\displaystyle 1/(n^{p}\ln ^{q}n)}$은 0으로 수렴한다. 교대급수 판정법에 의하여, 이 급수는 조건 수렴한다.
• 만약 ${\displaystyle p=0}$, ${\displaystyle q\leq 0}$이거나 ${\displaystyle p<0}$이라면, ${\displaystyle (-1)^{n}/(n^{p}\ln ^{q}n)}$은 0으로 수렴하지 않는다. 따라서 이 급수는 발산한다.