적분 판정법

미적분학에서 적분 판정법(積分判別法, integral test)은 음이 아닌 실수 항 급수와 음이 아닌 실수 값 함수의 이상 적분의 수렴성 사이의 관계를 나타내는 수렴 판정법이다.

조화급수에 적용한 적분판정법. 곡선 y = 1 / x, x ∈ [1, ∞) 아래쪽의 면적이 무한하므로 직사각형들의 총면적 역시 무한하다.

정의와 증명

음이 아닌 실수 값 감소함수

${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )}$

${\displaystyle \forall x,y\in [0,\infty )\colon x\leq y\implies f(x)\geq f(y)}$

가 주어졌다고 하자. (특히, ${\displaystyle f}$는 임의의 ${\displaystyle [0,a]\subseteq [0,\infty )}$에서 리만 적분 가능하다.) 적분 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:138–139, Exercise 8[2]:290, Proposition 11.6.4}

• 급수 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)}$는 수렴한다.
• 이상 적분 ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$은 수렴한다.

또한, (수렴 여부와 관계 없이) 다음 부등식이 성립한다.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=0}^{\infty }f(n)\leq f(0)+\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$

증명:

음이 아닌 실수 항 급수의 합과 음이 아닌 실수 값 리만 적분 가능 함수의 이상 적분의 값은 음이 아닌 확장된 실수로서 항상 존재하며, 이들의 수렴 여부는 합이나 적분 값의 유한한지 여부와 동치이다. 임의의 ${\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}}$ 및 ${\displaystyle n\leq x\leq n+1}$에 대하여,

${\displaystyle f(n+1)\leq f(x)\leq f(n)}$

이다. ${\displaystyle [n,n+1]}$ 위의 리만 적분을 취하면

${\displaystyle f(n+1)\leq \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq f(n)}$

이 된다. ${\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}}$에 대한 급수를 취하면

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=0}^{\infty }f(n)}$

이 된다. 이는

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}\int _{i}^{i+1}f(x)\,dx\\&=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{n+1}f(x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\end{aligned}}}$

임에 따른다. 따라서, 만약

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)<\infty }$

라면

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=0}^{\infty }f(n)<\infty }$

이며, 만약

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx<\infty }$

라면

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=f(0)+\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq a_{0}+\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx<\infty }$

이다. 즉, 수렴 여부가 동치다.

예

급수

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}\qquad (p\in \mathbb {R} )}$

를 생각하자. (혹자는 이를 p-급수(영어: p-series)라고 부른다.) 만약 ${\displaystyle p\leq 0}$이라면, 이 급수는 자명하게 발산한다. 이제, ${\displaystyle p>0}$이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 이 급수의 수렴 여부는 다음 이상 적분이 수렴하는지 여부와 동치이다.

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}}$

만약 ${\displaystyle p=1}$이라면,

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}=\lim _{x\to \infty }\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=\lim _{x\to \infty }(\ln x-\ln 1)=\infty }$

이다. 만약 ${\displaystyle p\neq 1}$이라면,

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}=\lim _{x\to \infty }\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t^{p}}}=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {x^{1-p}}{1-p}}-{\frac {1}{1-p}}\right)={\begin{cases}\infty &p<1\\1/(p-1)&p>1\end{cases}}}$

이다. 따라서, 이 급수는 ${\displaystyle p>1}$일 때 수렴하며, ${\displaystyle p\leq 1}$일 때 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 라베 판정법의 증명은 이 급수의 ${\displaystyle p}$에 따른 수렴 여부에 기반한다.

보다 일반적으로, 급수

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}\ln ^{q}n}}\qquad (p,q\in \mathbb {R} )}$

를 생각하자. 이전 예 및 비교 판정법에 의하여, 이 급수는 ${\displaystyle p>1}$일 때 수렴하며, ${\displaystyle p<1}$일 때 발산한다. 이제 ${\displaystyle p=1}$이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 급수의 수렴 여부는 이상 적분

${\displaystyle \int _{2}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln ^{q}x}}}$

의 수렴 여부와 같다. 이는

${\displaystyle (x^{-1}\ln ^{-q}x)'=-x^{-2}\ln ^{-q}x+x^{-1}(-q)\ln ^{-q-1}x\cdot x^{-1}=-x^{-2}\ln ^{-q-1}x(\ln x+q)<0\qquad (x\gg 1)}$

임에 따른다. 만약 ${\displaystyle q=1}$이라면,

${\displaystyle \int _{2}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln x}}=\lim _{x\to \infty }\int _{2}^{x}{\frac {dt}{t\ln t}}=\lim _{x\to \infty }(\ln \ln x-\ln \ln 2)=\infty }$

이다. 만약 ${\displaystyle q\neq 1}$이라면,

${\displaystyle \int _{2}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln ^{q}x}}=\lim _{x\to \infty }\int _{2}^{x}{\frac {dt}{t\ln ^{q}t}}=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {\ln ^{1-q}x}{1-q}}-{\frac {\ln ^{1-q}2}{1-q}}\right)={\begin{cases}\infty &q<1\\-\ln ^{1-q}2/(1-q)&q>1\end{cases}}}$

이다. 따라서, 이 급수는 ${\displaystyle p>1}$이거나 ${\displaystyle p=1}$, ${\displaystyle q>1}$일 때 수렴하며, ${\displaystyle p=1}$, ${\displaystyle q\leq 1}$이거나 ${\displaystyle p<1}$일 때 발산한다. 비 판정법·근 판정법·라베 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 베르트랑 판정법의 증명은 이 급수의 ${\displaystyle (p,q)}$에 따른 수렴 여부에 기반한다.

마찬가지로, 급수

${\displaystyle \sum _{n=\underbrace {{\mathrm {e} }^{{\mathrm {e} }^{\cdots ^{{\mathrm {e} }^{2}}}}} _{k-1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{p_{0}}(\ln n)^{p_{1}}\cdots (\underbrace {\ln \cdots \ln } _{k}\,n)^{p_{k}}}}}$

의 수렴 여부 또한 적분 판정법을 통하여 구할 수 있다. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k+1}}$ 위의 사전식 순서를 ${\displaystyle \preceq }$로 적을 때, 이 급수는 ${\displaystyle (p_{0},\dots ,p_{k})\succ (1,\dots ,1)}$일 때 수렴하며, ${\displaystyle (p_{0},\dots ,p_{k})\preceq (1,\dots ,1)}$일 때 발산한다.

같이 보기

• 수렴판정법
• 비교 판정법
• 지배 수렴 정리
• 극한 비교 판정법
• 단조 수렴 정리