구면 삼각형

수학에서 구면 삼각형(球面三角形, 영어: spherical triangle)은 구 위의 세 대원호에 둘러싸인 구면 위 도형이다. 유클리드 기하학의 평면 삼각형의 구면 기하학 버전이다. 구면 삼각형을 연구하는 수학 분야를 구면 삼각법(球面三角法, 영어: spherical trigonometry)이라고 한다.

구면 삼각형 ${\displaystyle ABC}$

정의

원점을 중심으로 하며, 1을 반지름으로 하는 (2차원) 구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$의 볼록 구면 다각형(-球面多角形, 영어: convex spherical polygon)은 다음을 만족시키는 부분 집합 ${\displaystyle P\subseteq \mathbb {S} ^{2}}$이다.^[1]

• ${\displaystyle P}$는 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$의 반구 ${\displaystyle H_{1},\dots ,H_{n}\subseteq \mathbb {S} ^{2}}$의 유한 교집합 ${\displaystyle \textstyle P=\bigcap _{k=1}^{n}H_{k}}$으로 나타낼 수 있다.
• ${\displaystyle \operatorname {int} P\neq \varnothing }$. 즉, ${\displaystyle P}$는 내부점을 가진다.
• ${\displaystyle P\cap (-P)=\varnothing }$. 즉, ${\displaystyle P}$는 대척점쌍을 포함하지 않는다.

각 반구 ${\displaystyle H_{k}}$에 대응하는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$의 반공간 ${\displaystyle {\widehat {H_{k}}}}$들의 교집합 ${\displaystyle \textstyle {\widehat {P}}=\bigcap _{k=1}^{n}{\widehat {H_{k}}}}$은 볼록추를 이루는데, 이 ${\displaystyle {\widehat {P}}}$의 모서리와 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$의 교점을 ${\displaystyle P}$의 꼭짓점(-點, 영어: vertex)이라고 하며, ${\displaystyle {\widehat {P}}}$의 면과 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$의 교선을 ${\displaystyle P}$의 변(邊, 영어: edge)이라고 한다. 꼭짓점의 수가 3일 경우 ${\displaystyle P}$를 (볼록) 구면 삼각형((-)球面三角形, 영어: (convex) spherical triangle)이라고 한다.

성질

구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ 위의 세 점 ${\displaystyle A,B,C\in \mathbb {S} ^{2}}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다.

• ${\displaystyle A,B,C\in \mathbb {S} ^{2}}$는 구면 삼각형을 이룬다.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}},{\overrightarrow {OC}}\in \mathbb {R} ^{3}}$은 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-선형 독립이다.

변의 길이와 각의 크기

구면 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 변의 길이 ${\displaystyle a,b,c}$는 두 꼭짓점 사이에 놓인 대원호의 길이로 정의되며, 이는 그 두 꼭짓점을 지나는 반지름 사이의 각도와 같다.

${\displaystyle a=BC=\arccos({\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OC}})}$

${\displaystyle b=AC=\arccos({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OA}})}$

${\displaystyle c=AB=\arccos({\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OB}})}$

구면 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 각의 크기 ${\displaystyle A,B,C}$는 한 꼭짓점에서 남은 두 꼭짓점을 향하는 두 접선 사이의 각도로 정의되며, 이는 그 한 꼭짓점을 지나는 두 변과 원점이 결정하는 두 평면 사이의 이면각과 같다.

${\displaystyle A=\arccos {\frac {({\overrightarrow {OB}}-({\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OB}}){\overrightarrow {OA}})\cdot ({\overrightarrow {OC}}-({\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OC}}){\overrightarrow {OA}})}{|{\overrightarrow {OB}}-({\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OB}}){\overrightarrow {OA}}|\cdot |{\overrightarrow {OC}}-({\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OC}}){\overrightarrow {OA}}|}}=\arccos {\frac {\mathbf {n} _{OAB}\cdot \mathbf {n} _{OAC}}{|\mathbf {n} _{OAB}||\mathbf {n} _{OAC}|}}}$

${\displaystyle B=\arccos {\frac {({\overrightarrow {OC}}-({\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OC}}){\overrightarrow {OB}})\cdot ({\overrightarrow {OA}}-({\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OA}}){\overrightarrow {OB}})}{|{\overrightarrow {OC}}-({\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OC}}){\overrightarrow {OB}}|\cdot |{\overrightarrow {OA}}-({\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OA}}){\overrightarrow {OB}}|}}=\arccos {\frac {\mathbf {n} _{OBC}\cdot \mathbf {n} _{OBA}}{|\mathbf {n} _{OBC}|\cdot |\mathbf {n} _{OBA}|}}}$

${\displaystyle C=\arccos {\frac {({\overrightarrow {OA}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OA}}){\overrightarrow {OC}})\cdot ({\overrightarrow {OB}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OB}}){\overrightarrow {OC}})}{|{\overrightarrow {OA}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OA}}){\overrightarrow {OC}}|\cdot |{\overrightarrow {OB}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OB}}){\overrightarrow {OC}}|}}=\arccos {\frac {\mathbf {n} _{OCA}\cdot \mathbf {n} _{OCB}}{|\mathbf {n} _{OCA}|\cdot |\mathbf {n} _{OCB}|}}}$

극삼각형

구 위의 (대원이 아닐 수 있는) 원의 극(極, 영어: pole)은 그 원이 놓인 평면과 수직인 지름의 두 끝점이다.

구면 삼각형 ${\displaystyle ABC}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle A'}$는 ${\displaystyle BC}$의 대원의 두 극 가운데 ${\displaystyle A}$와 같은 쪽에 있는 하나이며, ${\displaystyle B'}$는 ${\displaystyle CA}$의 대원의 두 극 가운데 ${\displaystyle B}$와 같은 쪽에 놓인 하나이며, ${\displaystyle C'}$는 ${\displaystyle AB}$의 대원의 두 극 가운데 ${\displaystyle C}$와 같은 쪽에 있는 하나라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle A'B'C'}$는 구면 삼각형을 이루며, 이를 ${\displaystyle ABC}$의 극삼각형(極三角形, 영어: polar triangle)이라고 한다. 즉, 이는 다음을 만족시키는 삼각형이다.

${\displaystyle 0={\overrightarrow {OA'}}\cdot {\overrightarrow {OB}}={\overrightarrow {OA'}}\cdot {\overrightarrow {OC}}={\overrightarrow {OB'}}\cdot {\overrightarrow {OA}}={\overrightarrow {OB'}}\cdot {\overrightarrow {OC}}={\overrightarrow {OC'}}\cdot {\overrightarrow {OA}}={\overrightarrow {OC'}}\cdot {\overrightarrow {OB}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {OA'}}\cdot {\overrightarrow {OA}}>0}$

${\displaystyle {\overrightarrow {OB'}}\cdot {\overrightarrow {OB}}>0}$

${\displaystyle {\overrightarrow {OC'}}\cdot {\overrightarrow {OC}}>0}$

극삼각형의 극삼각형은 자기 자신이다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 극삼각형이 ${\displaystyle A'B'C'}$라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle B',C'}$가 각각 변 ${\displaystyle AC,AB}$의 극이므로, ${\displaystyle AB',AC'}$는 모두 4분원호다. 따라서, ${\displaystyle A}$는 변 ${\displaystyle B'C'}$의 극이다. 또한, ${\displaystyle A,A'}$가 ${\displaystyle BC}$의 같은 쪽에 있으므로, ${\displaystyle AA'}$는 4분원호보다 작으며, 따라서 ${\displaystyle A,A'}$는 ${\displaystyle B'C'}$의 같은 쪽에 있다. 이로써 원하는 명제를 얻는다.

구면 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 극삼각형 ${\displaystyle A'B'C'}$의 변 ${\displaystyle a',b',c'}$ 및 각 ${\displaystyle A',B',C'}$은 원래의 삼각형과 다음과 같은 관계를 갖는다.

${\displaystyle a+A'=b+B'=c+C'=a'+A=b'+B=c'+C=\pi }$

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. ${\displaystyle B'C'}$와 ${\displaystyle AB}$의 교점을 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle B'C'}$와 ${\displaystyle AC}$의 교점을 ${\displaystyle E}$라고 하자. 그렇다면, 각 ${\displaystyle A}$는 대원호 ${\displaystyle DE}$와 같다. 또한, ${\displaystyle B'E,C'D}$는 모두 4분원호이므로, ${\displaystyle B'C'+A}$는 반원호와 같다. 이로써 원하는 명제를 얻는다.

사인 법칙과 코사인 법칙

 이 부분의 본문은 구면 사인 법칙 및 구면 코사인 법칙입니다.

구면 삼각형에 대한 사인 법칙은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}}$

구면 삼각형 ${\displaystyle ABC}$에 대한 제1 코사인 법칙은 다음과 같다.

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A}$

${\displaystyle \cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C}$

구면 삼각형 ${\displaystyle ABC}$에 대한 제2 코사인 법칙은 극삼각형에 제1 법칙을 적용한 결과이며, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a}$

${\displaystyle \cos B=-\cos C\cos A+\sin C\sin A\cos b}$

${\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c}$

다음과 같은 항등식은 코사인 법칙 및 사인 법칙을 사용하여 증명할 수 있다.

${\displaystyle \cot a\sin b=\cot A\sin C+\cos b\cos C}$

${\displaystyle \cot b\sin a=\cot B\sin C+\cos a\cos C}$

${\displaystyle \cot b\sin c=\cot B\sin A+\cos c\cos A}$

${\displaystyle \cot c\sin b=\cot C\sin A+\cos b\cos A}$

${\displaystyle \cot c\sin a=\cot C\sin B+\cos a\cos B}$

${\displaystyle \cot a\sin c=\cot A\sin B+\cos c\cos B}$

기타 항등식

반각과 반변

구면 삼각형의 반각 및 반변의 삼각 함수들은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {-{\frac {\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {a}{2}}={\sqrt {-{\frac {\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}}}}$

여기서 ${\displaystyle 2S=A+B+C}$이다.

이에 따라 구면 삼각형의 각과 변의 삼각 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {\sin s\sin(s-a)\sin(s-b)\sin(s-c)}}}{\sin b\sin c}}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}a-\cos ^{2}b-\cos ^{2}c+2\cos a\cos b\cos c}}{\sin b\sin c}}}$

${\displaystyle \sin a={\frac {2{\sqrt {-\cos S\cos(S-A)\cos(S-B)\cos(S-C)}}}{\sin B\sin C}}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}A-\cos ^{2}B-\cos ^{2}C-2\cos A\cos B\cos C}}{\sin B\sin C}}}$

네이피어 동류식

다음과 같은 4개의 항등식을 네이피어 동류식(-同類式, 영어: Napier's analogies)이라고 한다.

${\displaystyle \tan {\frac {A+B}{2}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}\cot {\frac {C}{2}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {A-B}{2}}={\frac {\sin {\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {a+b}{2}}}}\cot {\frac {C}{2}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {a+b}{2}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}\tan {\frac {c}{2}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {a-b}{2}}={\frac {\sin {\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {a+b}{2}}}}\tan {\frac {c}{2}}}$

들랑브르 동류식

다음과 같은 4개의 항등식을 들랑브르 동류식(-同類式, 영어: Delambre's analogies) 또는 가우스 정리(-定理, 영어: Gauss's theorems)이라고 한다.

${\displaystyle \cos {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {c}{2}}=\cos {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {C}{2}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {A-B}{2}}\sin {\frac {c}{2}}=\sin {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {C}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {c}{2}}=\cos {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {A-B}{2}}\sin {\frac {c}{2}}=\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}$

넓이와 구과량

구면 다각형 ${\displaystyle A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}$의 구과량(球過量, 영어: spherical excess) 또는 구면 과잉(球面過剩)은 다음과 같다.

${\displaystyle E=\sum _{k=1}^{n}A_{k}-(n-2)\pi }$

특히, 구면 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 구과량은 다음과 같다.

${\displaystyle E=A+B+C-\pi }$

구면 다각형 ${\displaystyle A_{1}\cdots A_{n}}$의 넓이는 그 구과량과 같다.

${\displaystyle \operatorname {area} (P)=E=\sum _{k=1}^{n}A_{k}-(n-2)\pi }$

특히, 구면 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 넓이는 다음과 같으며, 이에 따라 구면 삼각형의 내각합은 항상 180도보다 크다.

${\displaystyle \operatorname {area} (T)=E=A+B+C-\pi }$

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 다각형은 여러 개의 구면 삼각형으로 쪼갤 수 있으므로, 구면 삼각형에 대하여 증명하는 것을 족하다. ${\displaystyle a}$변이 놓인 대원호를 경계로 하며 ${\displaystyle A}$를 한 점으로 포함하는 반구를 생각하자. 이는 네 가지 구역으로 나뉘는데, 첫째는 구면 삼각형 ${\displaystyle ABC}$, 둘째는 각 ${\displaystyle B}$만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형 ${\displaystyle ABC}$를 제외한 부분, 셋째는 각 ${\displaystyle C}$만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형 ${\displaystyle ABC}$를 제외한 부분, 마지막 넷째는 각 ${\displaystyle A}$만큼 벌어진 구면 이각형에서 ${\displaystyle A,B,C}$의 대척점 ${\displaystyle -A,-B,-C}$이 이루는 구면 삼각형을 제외한 부분이다. 구의 넓이가 ${\displaystyle 4\pi }$이며, 구면 이각형의 넓이는 벌어진 각에 비례하며, 구면 삼각형 ${\displaystyle -A,-B,-C}$의 넓이가 ${\displaystyle ABC}$와 같다는 사실에 주의하면, 반구의 넓이를 다음과 같은 두 가지 방법으로 나타낼 수 있으며, 이를 정리하면 증명하려던 공식을 얻는다.

${\displaystyle {\begin{aligned}2\pi &=\operatorname {area} (T)+(2A-\operatorname {area} (-T))+(2B-\operatorname {area} (T))+(2C-\operatorname {area} (T))\\&=2A+2B+2C-2\operatorname {area} (T)\end{aligned}}}$

다음 항등식은 시몽 륄리에가 제시하였다.

${\displaystyle \tan {\frac {E}{4}}={\sqrt {\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}}}}$

여기서 ${\displaystyle 2s=a+b+c}$이다.

응용

구면 삼각법은 천문학, 측지학 및 항법에서 계산에 매우 중요하다.

역사

그리스 수학에서 구면 삼각법의 기원과 이슬람 수학의 주요 발전은 중세 이슬람의 삼각법과 수학의 역사에서 논의된바있다. 이 주제는 존 네이피어(John Napier) , 장 밥티스트 조제프 델람브레(Delambre) 및 다른 사람들의 중요한 발전으로 초기 근대에 실현되었으며 19세기 말 토드헌터(Todhunter)가 저술한 전문서적인 대학 및 학생을 위한 구면 삼각법의 출판으로 본질적으로 완전한 형태를 갖추었다.^[2] 이 책은 현재 웹에서 쉽게 퍼블릭 도메인인 구텐베르크 프로젝트로부터 사용할 수 있다. 그 이후로 중요한 발달로는 정리의 도출과 복잡한 계산을 수행하기위한 컴퓨터의 사용을 위한 벡터 방법의 적용이 있어왔다.

같이 보기

• 르장드르의 구면삼각형 정리
• 가우스-보네 정리