구조주의 (수리철학)

현대 수리철학에서, 구조주의(構造主義, 영어: structuralism)는 자연수나 실수, 3차원 유클리드 공간 따위를 어떤 ‘구체적인 대상’ 대신 ‘추상적인 구조’로 여겨야 한다는 사조(思潮)다.

자연수들을 구체적인 집합들로 보는 가장 흔한 방법은 0을 공집합으로, 따름수 함수를 ${\displaystyle s(x)=x\cup \{x\}}$로 보는 것이다. 이는 유일한 방법이 아니다. 예를 들어, 0을 마찬가지로 공집합으로 보고, 따름수 함수를 ${\displaystyle s(x)=\{x\}}$로 볼 수 있다. 구조주의에 따르면, 자연수는 이러한 구체적인 집합과 구분되는 추상적인 개념이며, 그 본질은 자연수를 나타내는 어떤 구체적인 해석이 아닌, 그 구체적인 해석들을 채워 넣는 “자리”^[1]에 있다.

실수는 유리수에 대한 데데킨트 절단, 또는 유리수의 코시 열의 (거리가 0으로 수렴하는 관계에 대한) 동치류로 정의할 수 있다. 이러한 구성은 집합론적이며, 유리수 또한 집합으로 여길 수 있으므로, 실수는 적어도 위 두 가지 방법을 통해 집합으로 여길 수 있으며, 위 두 구성은 서로 다르지만 서로 동형이다. 구조주의에 따르면, 실수는 그 구체적 구성과 구분되는, 추상적인 실수 구조의 일부로 여겨져야 한다.

범주적 이론(영어: categorical theory)은 동형 아래 유일한 모형을 갖는 이론이다. 2차 페아노 산술과 2차 실수 이론과 힐베르트 공리계는 각각 자연수와 실수와 3차원 유클리드 공간을 묘사하며, 모두 범주적 이론이다. 이름과 달리 범주론과는 직접적 관련이 없다. 구조주의에 따르면, 범주적 이론이 묘사하는 것은 그 이론의 특정 모형이 아닌, 동형이지만 서로 다른 모형들을 채워 넣을 수 있는 “칸”이다.