구형성

구형도(球形度, 영어: Sphericity)는 어떤 물체의 모양이 구와 얼마나 닮았는지를 나타내는 지표다. 예를 들어, 베어링에 들어가는 베어링 볼의 구형도는 베어링의 품질을 결정한다.

1935년, 헤이컨 워들(Hakon Wadell)에 의해 처음으로 정의되었다.^[1]

구형도 ${\displaystyle \Psi }$는 물체의 겉넓이 대비 구의 겉넓이 비율이며, 여기서 구와 물체의 부피는 같다.

물체 ${\displaystyle p}$의 겉넓이를 ${\displaystyle A_{p}}$, 부피를 ${\displaystyle V_{p}}$라고 할 때,

${\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}}$

로 정의하며, 1보다 클 수 없다.

유도

물체와 동일한 부피를 가지는 구 ${\displaystyle s}$의 겉넓이를 ${\displaystyle A_{s}}$, 부피를 ${\displaystyle V_{s}}$라고 하고, 그의 반지름을 ${\displaystyle r}$이라고 하면,

${\displaystyle V_{s}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}=V_{p}}$

양 변에 ${\displaystyle 6\pi ^{\frac {1}{2}}}$를 곱하면, ${\displaystyle 8\pi ^{\frac {3}{2}}r^{3}=\pi ^{\frac {1}{2}}\cdot 6V_{p}}$

양 변을 ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ 제곱하면, ${\displaystyle 4\pi r^{2}=\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}=A_{s}}$

마지막으로 구형도를 계산하면, ${\displaystyle \Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}}$

위 식에서 상수 부분을 분리하면 다음과 같다.

${\displaystyle \Psi =(36\pi )^{\frac {1}{3}}\times {\frac {V_{p}^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}\approx 4.836\times {\frac {V_{p}^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}}$

주요 물체의 구형도

물체	사진	부피 (${\displaystyle V_{p}}$)	겉넓이 (${\displaystyle A_{p}}$)	구형도 (${\displaystyle \Psi }$)
구		${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$	${\displaystyle 4\pi \,r^{2}}$	${\displaystyle 1}$
정이십면체		${\displaystyle {\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}}$	${\displaystyle 5{\sqrt {3}}\,s^{2}}$	${\displaystyle \approx 0.939}$
정십이면체		${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}}$	${\displaystyle 3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,s^{2}}$	${\displaystyle \approx 0.910}$
정팔면체		${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,s^{3}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}\,s^{2}}$	${\displaystyle \approx 0.846}$
반구		${\displaystyle {\frac {2}{3}}\pi \,r^{3}}$	${\displaystyle 3\pi \,r^{2}}$	${\displaystyle \approx 0.840}$
정육면체		${\displaystyle \,s^{3}}$	${\displaystyle 6\,s^{2}}$	${\displaystyle \approx 0.806}$
정사면체		${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{12}}\,s^{3}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\,s^{2}}$	${\displaystyle \approx 0.671}$

같이 보기

• 편평률