국소 연결 공간

일반위상수학에서 국소 연결 공간(局所連結空間, 영어: locally connected space)은 모든 점이 연결 근방들로 구성된 국소 기저를 갖는 위상 공간이다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 국소 연결 공간이라고 한다.

• 임의의 점 ${\displaystyle x\in X}$의 임의의 근방 ${\displaystyle U\ni x}$에 대하여, ${\displaystyle x\in C\subseteq U}$인 연결 근방 ${\displaystyle C}$가 존재한다.^[1]:161
• 임의의 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$의 모든 연결 성분은 ${\displaystyle X}$의 열린집합이다.^[1]:161

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 국소 경로 연결 공간(局所經路連結空間, 영어: locally path connected space)이라고 한다.

• 임의의 점 ${\displaystyle x\in X}$의 임의의 근방 ${\displaystyle U\ni x}$에 대하여, ${\displaystyle x\in C\subseteq U}$인 경로 연결 근방 ${\displaystyle C}$가 존재한다.^[1]:161
• 임의의 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$의 모든 경로 연결 성분은 ${\displaystyle X}$의 열린집합이다.^[1]:161

성질

다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

CW 복합체 ⊊ 국소 축약 가능 공간 ⊊ 국소 경로 연결 공간 ⊊ 국소 연결 공간

국소 경로 연결 공간 속에서 다음이 성립한다.

• 연결 성분과 경로 연결 성분의 개념이 동치이다.^[1]:161
• 연결 열린집합과 경로 연결 열린집합의 개념이 동치이다.^[1]:162

국소 연결 공간의 몫공간은 국소 연결 공간이다.^[1]:163

(경로) 연결성과 국소 (경로) 연결성은 다음과 같은 함의 관계를 가진다.

	경로 연결	연결이지만 경로 연결이 아님	연결이 아님
국소 경로 연결	가능	불가능	가능
국소 연결이지만, 국소 경로 연결이 아님	가능	가능	가능
국소 연결이 아님	가능	가능	가능

예

위상수학자의 사인 곡선은 연결 공간이지만, 경로 연결 공간이 아니며, 국소 연결 공간도 아니다.

빗 공간은 경로 연결 공간이지만 국소 연결 공간이 아니다.

(경로) 연결성과 국소 (경로) 연결성의 함의 관계에 대한 대표적인 예는 다음과 같다.

	경로 연결	연결이지만 경로 연결이 아님
국소 경로 연결	유클리드 공간	(불가능)
국소 연결이지만 국소 경로 연결이 아님	비가산 집합의 여가산 위상(영어: cocountable topology)의 뿔	${\displaystyle [0,1]^{2}}$ 위의 사전식 순서 위상
국소 연결이 아님	빗 공간	위상수학자의 사인 곡선

(연결 공간이 아닌 국소 경로 연결 공간 · 국소 연결 국소 경로 비연결 공간 · 국소 비연결 공간의 예를 얻으려면, 위 표의 예들의 분리합집합을 취하면 된다. 예를 들어, 두 개의 위상수학자의 사인 곡선의 분리합집합은 국소 연결 공간이 아닌 비연결 공간이다.)

위상수학자의 사인 곡선은 연결 공간이지만 국소 연결 공간이 아니다. (0, 1)에서 이 점을 중심으로 하는 적당히 작은 ε-구를 잡으면, (0, 1)을 포함하는 연결 성분은 열린집합이 아니기 때문이다.

빗 공간(영어: comb space)은 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$의 다음과 같은 부분 공간이다.

${\displaystyle \{0\}\times [0,1]\cup [0,1]\times \{0\}\cup \{1/n\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\}\times [0,1]}$

이는 경로 연결 공간이지만 국소 연결 공간이 아니다.

유리수의 부분 공간 위상은 국소 연결 공간도, 연결 공간도 아니다.