군의 표시

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군론에서, 군의 표시(表示, 영어: presentation)는 주어진 군을 생성원과 이들 사이의 관계식들을 통해 구체적으로 적는 방법이다.

정의

표시는 다음과 같은 순서쌍 ${\displaystyle \langle S|R\rangle }$이다.

• ${\displaystyle S}$는 집합이다.
• ${\displaystyle R\subset \operatorname {Free} (S)}$는 ${\displaystyle S}$ 및 ${\displaystyle ^{-1}}$로 구성되는 유한 문자열들의 집합이다.

이 순서쌍에 의하여 표시되는 군은 다음과 같다.

${\displaystyle \langle S|R\rangle =\operatorname {Free} (S)/\operatorname {Free} (S)^{-1}R\operatorname {Free} (S)}$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {Free} (S)}$는 ${\displaystyle S}$로부터 생성되는 자유군이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Free} (S)^{-1}R\operatorname {Free} (S)}$는 ${\displaystyle R}$를 포함하는 ${\displaystyle \operatorname {Free} (S)}$의 최소의 정규 부분군이다. 이는 ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle R^{-1}}$의 켤레 원소들의 유한 곱들로 구성된다.

성질

표시된 두 군 ${\displaystyle \langle S|R\rangle }$, ${\displaystyle \langle T|Q\rangle }$의 자유곱은 다음과 같다.

${\displaystyle \langle S|R\rangle *\langle T|Q\rangle =\langle S\cup T|R\cup Q\rangle }$

표시된 두 군 ${\displaystyle \langle S|R\rangle }$, ${\displaystyle \langle T|Q\rangle }$의 직접곱은 다음과 같다.

${\displaystyle \langle S|R\rangle \times \langle T|Q\rangle =\langle S\cup T|R\cup Q\cup \{rqr^{-1}q^{-1}\colon r\in R,\;q\in Q\}\rangle }$

예

대표적인 군들의 표시는 다음과 같다.

군	표시	비고
자명군	${\displaystyle \langle |\rangle }$
자유군	${\displaystyle \langle S|\rangle }$	집합 ${\displaystyle S}$에 대하여, ${\displaystyle S}$로부터 생성되는 자유군
자유 아벨 군	${\displaystyle \langle S|\{aba^{-1}b^{-1}\colon a,b\in S\}\rangle }$	계수가 ${\displaystyle |S|}$인 자유 아벨 군
순환군 ${\displaystyle Z_{n}}$	${\displaystyle \langle a|a^{n}\rangle }$
대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$	${\displaystyle \langle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}|\sigma _{i}^{2},\;\sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}^{-1}\sigma _{j}^{-1}\;(j\neq i\pm 1),\;(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}\rangle }$
정사면체군	${\displaystyle \langle s,t|s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle }$
정팔면체군	${\displaystyle \langle s,t|s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle }$
정이십면체군	${\displaystyle \langle s,t|s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle }$
사원수군	${\displaystyle \langle i,j|jiji^{-i},ijij^{-1}\rangle }$

외부 링크

• “Presentation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group presentation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Group presentation”. 《nLab》 (영어).
• “Presentation of a group”. 《Groupprops》 (영어).