사원수군

군론에서 사원수군(四元數群, 영어: quaternion group)은 단위 사원수 i, j, k로 생성되는 유한군이다.

사원수군을 도식화한 그림. 각 색깔은 사원수군의 어떤 원소든지 거듭하여 연산을 하면 항등원(1로 표기)이 된다는 것을 보여주고 있다. 예를 들어, 붉은색으로 표시된 부분은 i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1이라는 것을 설명한다. 또한 (-i)² = -1, (-i)³ = i, (-i)⁴ = 1이라는 것도 알 수 있다.

정의

사원수군은 원소의 개수가 8개인 비아벨 군이다. 사원수군은 흔히 Q로 표기되며, 다음의 원소들로 구성되어 있다.

Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}

여기에서 1은 항등원을 나타내며 (-1)² = 1이 성립한다. 또한 Q의 임의의 원소 a에 대해 (-1)a = a(-1) = -a가 성립한다. 이 외에도 원소들간에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$

사원수군의 군 표(Cayley table)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
1	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
−1	−1	1	−i	i	−j	j	−k	k
i	i	−i	−1	1	k	−k	−j	j
−i	−i	i	1	−1	−k	k	j	−j
j	j	−j	−k	k	−1	1	i	−i
−j	−j	j	k	−k	1	−1	−i	i
k	k	−k	j	−j	−i	i	−1	1
−k	−k	k	−j	j	i	−i	1	−1

표를 살펴보면, 이 군이 비가환군이라는 사실을 확인할 수 있다. 즉 교환법칙이 성립하지 않는다. 예를 들어 ij = -ji이다.

행렬 표현

사원수군은 GL₂(C)의 부분군으로 나타낼 수 있다.^[1] ${\displaystyle Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}}$의 원소들은 각각 다음 행렬에 대응된다. ${\displaystyle \ 1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \ i={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \ j={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \ k={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$

여기에서 ${\displaystyle i}$는 허수 단위이다.

성질

자기 동형

사원수군의 중심은 ${\displaystyle \{\pm 1\}}$이며, 사원수군의 교환자 부분군 역시 ${\displaystyle \{\pm 1\}}$이다. 이에 대한 몫군(내부 자기 동형군)은 클라인 4원군 ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\times \operatorname {Cyc} (2)}$이다.

사원수군의 자기 동형군은 4차 대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (4)}$이다. 외부 자기 동형군은 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (4)/(\operatorname {Cyc} (2)\times \operatorname {Cyc} (2))\cong \operatorname {Sym} (3)}$이다.

부분군

사원수군의 부분군은 (자명군과 스스로를 포함하여) 총 6개가 있으며, 이들은 다음과 같다.

• 크기 8: ${\displaystyle Q}$
• 크기 4: ${\displaystyle \langle i\rangle ,\langle j\rangle ,\langle k\rangle \leq \mathbb {Q} }$. 이들은 모두 4차 순환군 ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (4)}$와 동형이다. 이에 대한 몫군은 2차 순환군이다.
• 크기 2: ${\displaystyle \langle -1\rangle \leq Q}$. 이는 2차 순환군과 동형이다. 이에 대한 몫군은 클라인 4원군과 동형이다.
• 크기 1: 자명군 ${\displaystyle 1}$

이들은 모두 정규 부분군이다. 즉, 사원수군은 데데킨트 군을 이룬다.