귀진 완전열

대수적 위상수학에서 귀진 완전열(Gysin完全列, 영어: Gysin exact sequence)은 초구 올뭉치에 대하여 존재하는, 밑공간과 전체 공간의 코호몰로지를 잇는 긴 완전열이다.

정의

올이 ${\displaystyle k}$차원 초구(또는 호몰로지 초구)인 세르 올뭉치

${\displaystyle \mathbb {S} ^{k}\hookrightarrow E{\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}B}$

를 생각하자. 또한, ${\displaystyle B}$가 경로 연결 CW 복합체이며 기본군 ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$는 코호몰로지 환 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(B)}$ 위에 자명하게 작용한다고 하자. (이는 세르 스펙트럼 열이 존재하기 위한 충분조건이다.) 이 경우, 초구는 오직 0차 및 ${\displaystyle k}$차 코호몰로지만을 가지므로, 세르 스펙트럼 열의 둘째 쪽은 다음과 같다.

${\displaystyle E_{2}^{\bullet ,\bullet }=\cdots =E_{k+1}^{\bullet ,\bullet }=\left|{\underline {\begin{matrix}\operatorname {H} ^{0}(B)&\operatorname {H} ^{1}(B)&\cdots \\0&0&\cdots \\\vdots &\vdots \\0&0&\cdots \\\operatorname {H} ^{0}(B)&\operatorname {H} ^{1}(B)&\cdots \end{matrix}}}\right.}$

이 스펙트럼 열은 2번째 쪽부터 ${\displaystyle k+1}$번째 쪽까지는 그대로이며, ${\displaystyle k+2}$번째 쪽에서 퇴화한다.

${\displaystyle E_{k+2}^{\bullet ,\bullet }=\cdots =E_{\infty }^{\bullet ,\bullet }=\left|{\underline {\begin{matrix}\ker d_{k+1}^{0,k}&\ker d_{k+1}^{1,k}&\cdots \\0&0&\cdots \\\vdots &\vdots \\0&0&\cdots \\\operatorname {H} ^{0}(B)&\operatorname {H} ^{1}(B)&\cdots &\operatorname {H} ^{k}(B)&\operatorname {coker} d_{k+1}^{0,k}&\operatorname {coker} d_{k+1}^{1,k}&\cdots \end{matrix}}}\right.}$

이 스펙트럼 열은 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{p+q}(E)}$로 수렴하게 된다. 따라서,

${\displaystyle {\frac {\operatorname {H} ^{n}(E)}{F^{n}\operatorname {H} ^{n}(E)}}=\ker d_{k+1}^{n-k,k}}$

${\displaystyle F^{n+1}\operatorname {H} ^{n+1}(E)=\operatorname {coker} d_{k+1}^{n-k,k}}$

가 되고, 완전열

${\displaystyle 0\to {\frac {\operatorname {H} ^{n}(E)}{F^{n}\operatorname {H} ^{n}(E)}}\to \operatorname {H} ^{n-k}(B){\xrightarrow {d_{k+1}^{n-k,k}}}\operatorname {H} ^{n+1}(B)\to F^{n+1}\operatorname {H} ^{n+1}(E)\to 0}$

이 존재한다. 이제 이들을 다음과 같이 잇자.

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{n}(E)\twoheadrightarrow {\frac {\operatorname {H} ^{n}(E)}{F^{n}\operatorname {H} ^{n}(E)}}\to \operatorname {H} ^{n-k}(B){\xrightarrow {d_{k+1}^{n-k,k}}}\operatorname {H} ^{n+1}(B)\to F^{n+1}\operatorname {H} ^{n+1}(E)\hookrightarrow \operatorname {H} ^{n+1}(E)\to \cdots }$

이제 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(E)/F^{\bullet }\operatorname {H} ^{\bullet }(E)}$ 및 ${\displaystyle F^{\bullet }\operatorname {H} ^{\bullet }(E)}$를 생략하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{n}(E)\to \operatorname {H} ^{n-k}(B){\xrightarrow {d_{k+1}^{n-k,k}}}\operatorname {H} ^{n+1}(B)\to \operatorname {H} ^{n+1}(E)\to \cdots }$

이를 귀진 완전열이라고 한다.

성질

귀진 완전열

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{n}(E){\xrightarrow {\pi _{*}}}\operatorname {H} ^{n-k}(B){\xrightarrow {e(E)\smile }}\operatorname {H} ^{n+1}(B){\xrightarrow {\pi ^{*}}}\operatorname {H} ^{n+1}(E)\to \cdots }$

에서 각 준동형은 다음과 같이 해석할 수 있다.

• ${\displaystyle e(E)\smile \colon \operatorname {H} ^{\bullet }(B)\to \operatorname {H} ^{\bullet +k+1}(B)}$은 초구 올뭉치 ${\displaystyle E}$의 오일러 특성류와의 합곱이다. 구체적으로, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{k}}$ 올다발 ${\displaystyle E}$가 주어졌다면, 그 연관 다발, 즉 각 올의 (임의의 내적에 대한) 단위 초구가 ${\displaystyle E}$가 되는 ${\displaystyle k+1}$차원 실수 벡터 다발 ${\displaystyle {\tilde {E}}\twoheadrightarrow B}$을 정의할 수 있다. ${\displaystyle E}$의 오일러 특성류는 ${\displaystyle {\tilde {E}}}$의 오일러 특성류 ${\displaystyle e({\tilde {E}})\in \operatorname {H} ^{k+1}(B;\mathbb {Z} )}$와 같다.
• ${\displaystyle \pi ^{*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet }(B)\to H^{\bullet }(E)}$는 코호몰로지에 의한 ${\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow B}$의 당김이다.
• ${\displaystyle \pi _{*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet +k}(E)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(B)}$는 귀진 준동형(Gysin準同型, 영어: Gysin homomorphism)이라고 한다. 실수 계수 코호몰로지의 경우, 드람 코호몰로지를 사용한다면 이는 ${\displaystyle E}$ 위의 미분 형식을 ${\displaystyle E}$의 올 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{k}}$에 대하여 적분한 것이다.

역사

스위스의 수학자 베르너 귀진(독일어: Werner Gysin, 1915~?)이 1941년 박사 학위 논문에서 도입하였다.^[1] 이는 귀진이 출판한 유일한 논문이다.