초구

기하학에서 초구(超球, 영어: hypersphere)는 2차원 곡면인 구를 임의의 차원으로 일반화한 공간이다.

정의

${\displaystyle n}$차원 초구 ${\displaystyle S^{n}}$은 ${\displaystyle n+1}$차원 유클리드 공간에서, 원점에서 일정한 거리에 있는 점들의 부분 공간이다.

${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}\colon \|x\|=1\}}$

이는 유클리드 공간으로부터 리만 계량을 이어받아 ${\displaystyle n}$차원 리만 다양체를 이룬다.

이는 다음과 같이 직교군 또는 스핀 군에 대한 동차 공간으로 여길 수 있다.

${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}\cong \operatorname {SO} (n+1)/\operatorname {SO} (n)\cong \operatorname {Spin} (n+1)/\operatorname {Spin} (n)}$

성질

넓이와 부피

반지름이 ${\displaystyle r}$인 n차원 초구의 초부피는

${\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}} \over {\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}r^{n}={C_{n}r^{n}}}$

이다. 여기서 ${\displaystyle \Gamma }$는 감마 함수이다.

${\displaystyle n}$차원 초구의 겉부피는

${\displaystyle S_{n-1}={{2\pi ^{{n} \over {2}}} \over {\Gamma \left({{n} \over {2}}\right)}}r^{n-1}}$

이다. 예를 들어, 4차원 초구의 초부피는 ${\displaystyle {\pi ^{2}r^{4}} \over {2}}$이고, 겉부피는 ${\displaystyle {2\pi ^{2}r^{3}}}$이다.

호몰로지와 호모토피

초구의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(\mathbb {S} ^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &i\in \{0,n\}\\0&i\not \in \{0,n\}\end{cases}}}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(\mathbb {S} ^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &i\in \{0,n\}\\0&i\not \in \{0,n\}\end{cases}}}$

드람 코호몰로지에서, 이 코호몰로지류는 상수 함수 및 부피 형식의 상수배에 의하여 대표된다.

초구의 호모토피 군은 일반적으로 매우 복잡하며, 아직 완전히 계산되지 못했다.

	π1	π2	π3	π4	π5	π6	π7	π8	π9	π10	π11	π12	π13	π14	π15
S0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S1	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S2	0	ℤ	ℤ	ℤ2	ℤ2	ℤ12	ℤ2	ℤ2	ℤ3	ℤ15	ℤ2	ℤ22	ℤ12×ℤ2	ℤ84×ℤ22	ℤ22
S3	0	0	ℤ	ℤ2	ℤ2	ℤ12	ℤ2	ℤ2	ℤ3	ℤ15	ℤ2	ℤ22	ℤ12×ℤ2	ℤ84×ℤ22	ℤ22
S4	0	0	0	ℤ	ℤ2	ℤ2	ℤ×ℤ12	ℤ22	ℤ22	ℤ24×ℤ3	ℤ15	ℤ2	ℤ23	ℤ120×ℤ12×ℤ2	ℤ84×ℤ25
S5	0	0	0	0	ℤ	ℤ2	ℤ2	ℤ24	ℤ2	ℤ2	ℤ2	ℤ30	ℤ2	ℤ23	ℤ72×ℤ2
S6	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ2	ℤ2	ℤ24	0	ℤ	ℤ2	ℤ60	ℤ24×ℤ2	ℤ23
S7	0	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ2	ℤ2	ℤ24	0	0	ℤ2	ℤ120	ℤ23
S8	0	0	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ2	ℤ2	ℤ24	0	0	ℤ2	ℤ×ℤ120

초구 ${\displaystyle S^{n}}$의 (비축소) 복소수 위상 K군들은 다음과 같다.^[1]:39

${\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\mathbb {Z} ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=0}$

${\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }$

초구의 축소 복소수 위상 K군들은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=0}$

초구의 축소 실수 위상 K군들은 다음과 같다.^[2]:§3.1

${\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} ^{m}(\mathbb {S} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &n-m\equiv 0,4{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /(2)&n-m\equiv 1,2{\pmod {8}}\\0&n-m\equiv 3,5,6,7{\pmod {8}}\end{cases}}}$

세포 복합체 구조

${\displaystyle n}$차원 초구는 표준적으로 하나의 0차원 세포와 하나의 ${\displaystyle n}$차원 세포를 가지는 세포 복합체 구조를 갖는다.

리 군과의 관계

초구 위의 리 군 구조

리 군과 미분 동형인 초구는 다음이 전부이다.

${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\cong \operatorname {Cyc} (2)}$ (2차 순환군)

${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\cong \operatorname {U} (1)}$ (원군)

${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\cong \operatorname {SU} (2)}$ (2차 특수 유니터리 군)

증명:

1차원 이하의 경우는 자명하다. 2차원 이상의 초구는 콤팩트 단일 연결 공간이다. 콤팩트 단일 연결 리 군은 단순 리 군들의 직접곱이며, 단순 리 군의 3차 코호몰로지는 항상 자명하지 않다. 따라서 가능한 경우는 3차원 초구 밖에 없다. (이 경우는 SU(2)와 미분 동형이다.)

동차 공간으로의 표현

초구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$가 다음과 같이 리 군으로 표현된다고 하자.

${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}\cong G/H}$

여기서

• ${\displaystyle \cong }$은 미분 동형이다. (이를 호모토피 동치로 약화시켜도 이 분류는 마찬가지로 성립한다.)
• ${\displaystyle G}$는 연결 콤팩트 리 군이다.
• ${\displaystyle H}$는 ${\displaystyle G}$의 닫힌 부분군이다.
• ${\displaystyle G}$는 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ 위의 유효 작용을 가지며, 이는 기약 작용이다.

그렇다면, 이러한 표현은 다음이 전부이다.^{[3]:Theorem 10}

G	H	초구의 차원
SO(n+1)	SO(n)	n
SU(k)	SU(k−1)	2k−1 (k≥2)
Sp(k)	Sp(k−1)	4k−1 (k≥2)
G2	SU(3)	6
Spin(7)	G2	7
Spin(9)	Spin(7)	15

특히, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=\operatorname {SO} (n+1)/\operatorname {SO} (n)}$이므로, 모든 초구는 대칭 공간이다.

예

0차원 초구 ${\displaystyle S^{0}}$은 두 점으로 이루어진 이산 공간이다.

1차원 초구는 원 (기하학)이다. 2차원 초구는 일반적인 구다. 3차원 초구는 리 군 SU(2)와 동형이다.

3차원 이상의 초구는 호프 올뭉치에 등장한다.