극한 기수

집합론에서 극한 기수(極限基數, 영어: limit cardinal)는 바로 다음 기수 연산만으로 도달할 수 없는 기수이다.

정의

기수 ${\displaystyle \kappa }$가 다음 조건을 만족시키면, 극한 기수라고 한다.

• ${\displaystyle \kappa =\lambda ^{+}}$인 기수 ${\displaystyle \lambda }$가 존재하지 않는다.

극한 기수가 아닌 기수를 따름 기수(따름基數, 영어: successor cardinal)라고 한다. (일부 문헌에서는 0을 극한 기수에서 제외시킨다.)

기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 강극한 기수(強極限基數, 영어: strong limit cardinal)라고 한다.

• 모든 기수 ${\displaystyle \lambda <\kappa }$에 대하여, ${\displaystyle 2^{\lambda }<\kappa }$
• 모든 기수 ${\displaystyle \lambda ,\mu <\kappa }$에 대하여, ${\displaystyle \lambda ^{\mu }<\kappa }$

(일부 문헌에서는 0을 극한 기수에서 제외시킨다.)

성질

임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle \alpha }$는 극한 순서수이다.
• ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$는 극한 기수이다. (${\displaystyle \aleph }$는 알레프 수)
• ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$는 강극한 기수이다. (${\displaystyle \beth }$는 베트 수)

모든 강극한 기수는 극한 기수이다. 만약 일반화 연속체 가설이 성립한다면, 모든 극한 기수는 강극한 기수이다.

만약 선택 공리가 성립한다면, 모든 따름 기수는 정칙 기수이다.^{[1]:49, Corollary 5.3}

예

가산 극한 기수는 0과 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ 밖에 없다. 이들은 둘 다 강극한 기수이다.

최소의 비가산 극한 기수는 ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$이며, 최소의 비가산 강극한 기수는 ${\displaystyle \beth _{\omega }}$이다.

알레프 수의 고정점(즉, ${\displaystyle \aleph _{\kappa }=\kappa }$인 ${\displaystyle \kappa }$)은 항상 극한 기수이다. 베트 수의 고정점은(즉, ${\displaystyle \beth _{\kappa }=\kappa }$인 ${\displaystyle \kappa }$)은 항상 강극한 기수이다. (이는 등식에 따라 ${\displaystyle \kappa }$가 극한 순서수이기 때문이다.) 그러나 이 명제들의 역은 성립하지 않는다.

같이 보기

• 도달 불가능한 기수