베트 수

집합론에서 베트 수(ℶ數, 영어: beth number)는 가산 무한 집합의 거듭된 멱집합들의 크기들을 나타내는 표기법이다.

정의

순서수 ${\displaystyle \alpha }$ 및 기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, 베트 수 ${\displaystyle \beth _{\alpha }(\kappa )}$는 다음과 같이 초한귀납법으로 정의된다.

• ${\displaystyle \beth _{0}(\kappa )=\kappa }$
• ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )}}$
• 극한 순서수 ${\displaystyle \lambda }$에 대하여, ${\displaystyle \beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa )\colon \alpha <\lambda \}}$

만약 ${\displaystyle \kappa }$를 생략할 경우, ${\displaystyle \kappa =\aleph _{0}}$을 의미한다. 즉,

${\displaystyle \beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\aleph _{0})}$

이다.

성질

칸토어의 정리에 따라, 베트 수들은 항상 증가한다.

${\displaystyle \alpha <\beta \implies \beth _{\alpha }<\beth _{\beta }}$

또한, 베트 수는 같은 차수의 알레프 수보다 작지 않다. 즉, 모든 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여,

${\displaystyle \beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }}$

위 식에서 등식이 성립하는지 여부는 일반화 연속체 가설이라고 하며, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다.

참고 문헌

• Roitman, Judith (2011). 《Introduction to modern set theory》 (영어). Virginia Commonwealth University. ISBN 978-0-9824062-4-3.

외부 링크

• “The beth numbers, ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2014년 12월 16일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 12월 15일에 확인함.

같이 보기

• 알레프 수
• 극한 기수