기본 대칭 다항식

가환대수학에서, 기본 대칭 다항식(基本對稱多項式, 영어: elementary symmetric polynomial)은 주어진 차수에 대하여, 이 차수의 모든 가능한 항들을 (계수 1로서) 정확히 하나씩 포함하는 다변수 대칭 다항식이다. 모든 대칭 다항식은 기본 대칭 다항식들로 유일하게 구성된다.

정의

차수 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle n}$개의 변수 ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$에 대한 ${\displaystyle k}$차 기본 대칭 다항식은 다음과 같은 대칭 다항식이다.

${\displaystyle e_{k}(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}\dotsm x_{i_{k}}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$

특히, ${\displaystyle k>n}$이라면 ${\displaystyle e_{k}(x_{1},\dotsc ,x_{n})=0}$이다. 즉, 0이 아닌 기본 대칭 다항식은 ${\displaystyle e_{0},\dotsc ,e_{n}}$이다. (항상 ${\displaystyle e_{0}(x_{1},\dotsc ,x_{n})=1}$이다.)

성질

임의의 가환환 ${\displaystyle K}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle n}$개의 변수에 대한 대칭 다항식의 가환환

${\displaystyle K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}=\{p\in K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]\colon \forall \sigma \in \operatorname {Sym} (n)\colon p(x_{1},\dotsc ,x_{n})=p(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)})\}}$

을 정의할 수 있다. 이 경우, 기본 대칭 다항식을 통한 환 준동형

${\displaystyle K[y_{1},\dotsc ,y_{n}]\to K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}}$

${\displaystyle y_{i}\mapsto e_{i}(x_{1},\dotsc ,x_{n})}$

을 생각할 수 있다. 이 환 준동형은 항상 가환환의 동형 사상이다.

다시 말해, 임의의 대칭 다항식

${\displaystyle p\in K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}}$

에 대하여,

${\displaystyle p(x_{1},\dotsc ,x_{n})=q(e_{1}(x_{1},\dotsc ,x_{n}),\dotsc ,e_{n}(x_{1},\dotsc ,x_{n}))}$

이 되는 다항식 ${\displaystyle q\in K[y_{1},\dotsc ,y_{n}]}$이 유일하게 존재한다.

예

낮은 값의 ${\displaystyle n}$에 대한 기본 대칭 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle e_{0}(x)=1}$

${\displaystyle e_{1}(x)=x}$

${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle e_{0}(x,y)=1}$

${\displaystyle e_{1}(x,y)=x+y}$

${\displaystyle e_{2}(x,y)=xy}$

${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle e_{0}(x)=1}$

${\displaystyle e_{1}(x,y,z)=x+y+z}$

${\displaystyle e_{2}(x,y,z)=xy+yz+xz}$

${\displaystyle e_{3}(x,y,z)=xyz}$

${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle e_{0}(x,y,z,w)=1}$

${\displaystyle e_{1}(x,y,z,w)=x+y+z+w}$

${\displaystyle e_{2}(x,y,z,w)=xy+yz+zw+wx+xz+yw}$

${\displaystyle e_{3}(x,y,z,w)=xyz+yzw+zwx+wxy}$

${\displaystyle e_{4}(x,y,z,w)=xyzw}$

같이 보기

• 대칭 다항식
• 뉴턴 항등식
• 뉴턴의 부등식
• 매클로린의 부등식
• 대칭 함수
• 표현론 (수학)

참고 문헌

• Macdonald, I. G. (1995). 《Symmetric functions and Hall polynomials》 (영어) 2판. Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0.

외부 링크

• “Elementary symmetric polynomial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Elementary symmetric polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Elementary symmetric polynomial”. 《nLab》 (영어).
• 이철희. “초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)”. 《수학노트》.
• “Elementary symmetric polynomial”. 《Groupprops》 (영어).
• “Elementary symmetric polynomial”. 《PlanetMath》 (영어).
• “Proof of fundamental theorem of symmetric polynomials”. 《PlanetMath》 (영어).
• “Elementary symmetric polynomial”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Fundamental theorem of symmetric polynomials”. 《ProofWiki》 (영어).