대칭 다항식

수학에서 대칭 다항식(對稱多項式, symmetric polynomial)은 변수의 위치를 뒤바꿔도 변하지 않는 다변수 다항식이다.

정의

다항식 ${\displaystyle f\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ (${\displaystyle K}$는 체)가 다음 조건을 만족시키면, 대칭 다항식이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$에 대하여, ${\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$

또한, ${\displaystyle n}$변수 ${\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$차 단항 대칭 다항식(單項對稱多項式, 영어: monomial symmetric polynomial) ${\displaystyle m_{n,\alpha }\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$은 다음과 같다.

${\displaystyle m_{n,\alpha }(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}x_{\sigma (1)}^{\alpha _{1}}\cdots x_{\sigma (n)}^{\alpha _{n}}}$

또한, ${\displaystyle n}$변수 ${\displaystyle k}$차 기본 대칭 다항식(基本對稱多項式, 영어: elementary symmetric polynomial) ${\displaystyle e_{n,k}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$은 다음과 같다.

${\displaystyle e_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{k}}}$

또한, ${\displaystyle n}$변수 ${\displaystyle k}$차 멱합 대칭 다항식(冪合對稱多項式, power sum symmetric polynomial) ${\displaystyle s_{n,k}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$은 다음과 같다.

${\displaystyle s_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}}$

또한, ${\displaystyle n}$변수 ${\displaystyle k}$차 완전 동차 대칭 다항식(完全同次對稱多項式, 영어: complete homogeneous symmetric polynomial) ${\displaystyle h_{n,k}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$은 다음과 같다.

${\displaystyle h_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{1\leq i_{1}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{k}}=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}\geq 0}^{k_{1}+\cdots +k_{n}=k}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}$

성질

모든 대칭 다항식 ${\displaystyle f\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$에 대하여, ${\displaystyle f=g(e_{n,1},\dots ,e_{n,n})}$인 ${\displaystyle g\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$가 존재한다.

같이 보기

• 대칭 함수
• 뉴턴 항등식
• 뮤어헤드의 부등식

외부 링크

• 이철희. “대칭다항식”. 《수학노트》.
• 이철희. “단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial)”. 《수학노트》.
• 이철희. “거듭제곱 대칭 다항식 (power sum symmetric polynomial)”. 《수학노트》.
• 이철희. “완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)”. 《수학노트》.
• 이철희. “슈르 다항식(Schur polynomial)”. 《수학노트》.
• “Symmetric polynomial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Symmetric polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Symmetric polynomial”. 《PlanetMath》 (영어).
• “Definition:Symmetric polynomial”. 《ProofWiki》 (영어).