기하 불변량 이론 몫

대수기하학에서 기하 불변량 이론 몫(幾何不變量理論몫, 영어: geometric invariant theory [GIT] quotient)은 대수군이 작용하는 대수다양체가 주어졌을 때, 이에 대한 몫을 정의하는 방법이다.^[1][2] 이 경우, 일부 ‘매우 나쁜’ 점들(준안정점이 아닌 점)을 버리게 되며, 또한 일부 ‘조금 나쁜’ 점(안정점이 아닌 준안정점)의 경우 해당 상의 원상이 궤도 전체가 아닐 수 있다.

정의

아핀 스킴의 경우

다음이 주어졌다고 하자.

• 체 ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle k}$ 위의 아핀 스킴 ${\displaystyle X/\operatorname {Spec} k=\operatorname {Spec} A}$
• ${\displaystyle k}$ 위의 대수군 ${\displaystyle G/\operatorname {Spec} k}$
• 작용 ${\displaystyle G\times _{k}X\to X}$

그렇다면, ${\displaystyle A}$ 위에는 군의 작용

${\displaystyle G\times A\to A}$

${\displaystyle (g.a)(x)=a(g^{-1}.x)}$

이 주어진다. 그렇다면, 불변량의 대수

${\displaystyle A^{G}=\{a\in A\colon \forall g\in G\colon g.a=a\}}$

를 정의할 수 있다. 이 역시 ${\displaystyle k}$ 위의 가환 결합 대수이다.

그렇다면, ${\displaystyle S}$의 기하 불변량 이론 몫은 다음과 같다.

${\displaystyle A/\!/G=\operatorname {Spec} (A^{G})}$

만약 ${\displaystyle A}$가 ${\displaystyle k}$ 위의 유한 생성 가환 결합 대수이며, ${\displaystyle G}$가 가약군이라면, ${\displaystyle A^{G}}$ 역시 ${\displaystyle k}$ 위의 유한 생성 가환 결합 대수이다 (나가타 정리 영어: Nagata’s theorem).

일반 스킴의 경우

다음이 주어졌다고 하자.

• 체 ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle k}$ 위의 유한형 스킴 ${\displaystyle X/\operatorname {Spec} k}$
• 대수적 선다발 ${\displaystyle L\twoheadrightarrow X}$
• ${\displaystyle k}$ 위의 대수군 ${\displaystyle G/\operatorname {Spec} k}$
• 작용 ${\displaystyle G\times _{k}X\to X}$

그렇다면, 이 데이터의 선형화는 ${\displaystyle L}$ 위의 ${\displaystyle G}$의 다음과 같은 조건을 만족시키는 작용이다.

• 임의의 ${\displaystyle l\in L}$에 대하여, ${\displaystyle \pi (g.l)=g.\pi (y)}$. 즉, 이는 각 올 ${\displaystyle L_{x}}$에 대하여 사상 ${\displaystyle L_{x}\to L_{x}}$를 정의한다.
• 또한, 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle G\times _{k}L_{x}\to L_{x}}$는 ${\displaystyle k}$-선형 변환이다.

이 경우, 대수적 선다발 ${\displaystyle L}$에 대하여 ${\displaystyle X}$의 기하점(대수적으로 닫힌 체 계수의 유리점)

${\displaystyle \operatorname {Spec} {\bar {K}}\to X}$

에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, ${\displaystyle x}$를 준안정점이라고 한다.

• 어떤 양의 정수 ${\displaystyle n}$ 및 ${\displaystyle G}$-불변 단면 ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$에 대하여, ${\displaystyle s(x)\neq 0}$이며 ${\displaystyle \{y\in X\colon s(y)\neq 0\}}$이 아핀 열린 부분 스킴이다.

만약 위 정의에 추가로 ${\displaystyle \{y\in X\colon s(y)\neq 0\}}$에서 모든 기하점의 궤도가 자리스키 닫힌집합이라는 조건이 추가로 성립하면 ${\displaystyle x}$를 안정점이라고 한다.

준안정점들은 열린 부분 스킴

${\displaystyle X^{\operatorname {ss} }\subseteq X}$

을 구성한다. 정의에 따라서, 충분히 큰 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ 및 ${\displaystyle G}$-불변 단면

${\displaystyle s_{1},\dotsc ,s_{n}\in \Gamma ({\mathcal {L}}^{\otimes N})}$

에 대하여

${\displaystyle \{x\in X\colon s_{i}(x)\neq 0\}\cong \operatorname {Spec} R_{i}}$

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}\operatorname {Spec} R_{i}=X^{\operatorname {ss} }}$

가 된다. 따라서 각 아핀 열린 스킴에 대하여 기하 불변량 이론 몫

${\displaystyle V_{i}=\operatorname {Spec} R_{i}^{G}}$

를 정의할 수 있으며, 이들을 짜깁기하여 ${\displaystyle k}$ 위의 유한형 스킴

${\displaystyle X/\!/G}$

를 정의할 수 있다. 이를 ${\displaystyle X}$의 기하 불변량 이론 몫이라고 한다. 이 개념은 사용한 선형화에 의존한다.

성질

체 ${\displaystyle k}$ 위의 유한형 스킴 ${\displaystyle X}$ 및 그 위에 작용하는 대수군 ${\displaystyle G}$ 및 선다발 ${\displaystyle L}$ 및 선형화가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 안정점으로 구성된 열린 부분 스킴 ${\displaystyle X^{\operatorname {s} }}$ 및 준안정점으로 구성된 열린 부분 스킴 ${\displaystyle X^{\operatorname {ss} }}$이 존재한다. 이 경우 ${\displaystyle X^{\operatorname {s} }}$의 경우 몫공간인 스킴 ${\displaystyle X^{\operatorname {s} }/G}$를 정의할 수 있다. 이 경우 다음과 같은 사상들이 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X^{\operatorname {s} }&\hookrightarrow &X^{\operatorname {ss} }&\hookrightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\X^{\operatorname {s} }/G&\hookrightarrow &X/\!/G\end{matrix}}}$

예

오비폴드

아핀 스킴 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{2}=K[x,y]}$ 위의, 이산군 ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}$(2차 순환군)의 작용

${\displaystyle (x,y)\mapsto (-x,-y)}$

을 생각하자. 또한, ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle {\frac {[K[a,b,c]}{(ac-b^{2})}}\cong K[x,y]^{G}}$

${\displaystyle (a,b,c)\mapsto (x^{2},xy,y^{2})}$

가 된다. 따라서

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{2}/\!/\operatorname {Cyc} (2)=\operatorname {Spec} {\frac {[K[a,b,c]}{(ac-b^{2})}}}$

는 3차원 아핀 공간 속의 이차 초곡면이다.

사영 공간

체 ${\displaystyle k}$가 주어졌다고 하자. 곱셈군 ${\displaystyle K^{\times }}$이 사영 공간 ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{k}^{n}}$ 위에 다음과 같이 작용한다고 하자.

${\displaystyle \lambda .[x_{0}:x_{1}:\dotsb :x_{n}]=[\lambda ^{-n}x_{0}:\lambda x_{1}:\dotsb$ :\lambda x_{n}]}

그렇다면, 닫힌 점 ${\displaystyle x=[x_{0}:\dotsb :x_{n}]}$는 힐베르트-멈퍼드 수치 조건에 의하여 다음과 같이 분류된다.

• 만약 ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$이며 ${\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n})\neq (0,\dotsc ,0)}$이라면, ${\displaystyle x}$는 안정점이다.
• 만약 ${\displaystyle x=[1:0:\dotsb :0]}$이라면, ${\displaystyle x}$는 안정점도, 준안정점도 아니다.
• 만약 ${\displaystyle x_{0}=0}$이라면, ${\displaystyle x}$는 안정점도, 준안정점도 아니다.

(이 경우 모든 준안정점은 안정점이다.)

즉, 이 경우 준안정점의 부분 공간은

${\displaystyle X^{\operatorname {ss} }\cong \mathbb {A} _{K}^{n}\setminus \{0\}}$

이며, 그 위의 ${\displaystyle k^{\times }}$의 작용은

${\displaystyle \lambda .(x_{1},\dotsc ,x_{n})=(\lambda x_{1},\dotsc ,\lambda x_{n})}$

이다. 따라서 그 기하 불변량 이론 몫은

${\displaystyle X/\!/k^{\times }=\mathbb {P} _{k}^{n-1}}$

이다.