가군의 깊이

가환대수학에서 깊이(영어: depth)는 가군의 “크기”를 측정하는 정수이다. 국소환의 경우 이는 크룰 차원 이하이며, 사영 차원과 깊은 관계를 갖는다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 뇌터 가환환 ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle R}$의 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$
• ${\displaystyle R}$의 유한 생성 가군 ${\displaystyle M}$. 또한, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}M\subsetneq M}$이라고 하자.

그렇다면 다음 두 정수가 서로 같으며, 이를 ${\displaystyle M}$의 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$-깊이(영어: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$-depth) ${\displaystyle \operatorname {depth} _{\mathfrak {a}}(M)}$라고 한다.

• ${\displaystyle \min\{n\colon \operatorname {Ext} _{R}^{n}(R/{\mathfrak {a}},M)\neq 0\}}$. 즉, Ext 함자가 0이 아니게 되는 가장 작은 차수^{[1]:450, Proposition 18.4}
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$에 포함된 ${\displaystyle M}$의 정칙렬의 최대 길이^[1]:425

성질

가환 뇌터 국소환 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$ 위의 유한 생성 가군 ${\displaystyle M}$의 경우, 그 깊이는 크룰 차원 이하이다.

${\displaystyle \operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}M\leq \dim _{R}M}$

또한, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle \operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}M=0\iff {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Ass} _{R}M}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}M\subseteq \operatorname {Spec} R}$은 ${\displaystyle M}$의 연관 소 아이디얼들의 집합이다.

오슬랜더-북스바움 공식

다음이 주어졌다고 하자.

• 뇌터 가환 국소환 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$
• ${\displaystyle R}$ 위의 유한 생성 가군 ${\displaystyle M}$. 또한, ${\displaystyle -\infty <\operatorname {pd} _{R}M<\infty }$이라고 하자 (${\displaystyle \operatorname {pd} }$는 사영 차원).

그렇다면 다음이 성립한다 (오슬랜더-북스바움 공식 영어: Auslander–Buchsbaum formula).^{[2]:Theorem 3.7}

${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M+\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}M=\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}R}$