정칙렬

가환대수학에서 정칙렬(正則列, 영어: regular sequence 레귤러 시퀀스^[*])은 어떤 가군의 크기를 하나씩 ‘최대한’ 줄이는, 가환환 원소들의 열이다.^{[1]:123–152, Chapter 6} 여기서 가군의 ‘크기를 줄인다’는 것은 가환환의 원소로 생성되는 부분 가군에 대한 몫가군을 취하는 것이다. 구체적으로, 정칙렬에서 임의의 성분 ${\displaystyle a_{i}}$는 그 이전 성분들(${\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{i-1}}$)로 생성되는 부분 가군 ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{i-1})M}$에 대한 몫가군 ${\displaystyle M/(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{i-1})M}$의 영인자가 아니다.

대수기하학적으로, 정칙렬은 여차원을 양의 정수 만큼씩 줄이는 ‘잘라내기’들로서 정의되는 부분 대수다양체에 해당한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle R}$의 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$
• ${\displaystyle R}$의 가군 ${\displaystyle M}$. 또한, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}M\subsetneq M}$이라고 하자.

유한 원소열 ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}\in R}$가 다음 조건을 만족시키면, ${\displaystyle M}$의 정칙렬이라고 한다.^[2]:419

• 임의의 ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$ 및 ${\displaystyle m\in M}$에 대하여، 만약 ${\displaystyle r_{i}m\in (r_{1},\dotsc ,r_{i-1})M}$이라면, ${\displaystyle m\in (r_{1},\dotsc ,r_{i-1})M}$이다. (즉, ${\displaystyle r_{i}}$는 ${\displaystyle M/(r_{1},\dots ,r_{i-1})M}$의 영인자가 아니다.)

일부 문헌에서는 정칙렬의 정의에 ${\displaystyle (r_{1},\dotsc ,r_{n})M\neq M}$이라는 조건을 추가한다. 이는 가군의 깊이의 개념을 정의하는 데 더 편리하지만, 이 조건은 국소화에 대하여 보존되지 못한다.

기하학적으로, 정칙렬의 원소는 가군의 소멸자 ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}M}$ 속의 일련의 부분 스킴들

${\displaystyle \operatorname {Spec} {\frac {R}{\operatorname {Ann} _{R}M}}\leftarrow \operatorname {Spec} {\frac {R}{\operatorname {Ann} _{R}(M/r_{1}M)}}\leftarrow \operatorname {Spec} {\frac {R}{\operatorname {Ann} _{R}(M/(r_{1},r_{2})M)}}\leftarrow \dotsb }$

에 대응된다. 특히, 만약 ${\displaystyle M=R}$인 경우 이는 ‘방정식’을 하나씩 추가하여 얻어지는 부분 스킴들의 열

${\displaystyle \operatorname {Spec} R\leftarrow \operatorname {Spec} {\frac {R}{(r_{1})}}\leftarrow \operatorname {Spec} {\frac {R}{(r_{1},r_{2})}}\leftarrow \dotsb }$

에 해당한다.

성질

${\displaystyle R}$-가군 ${\displaystyle M}$ 속의 정칙렬 ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dotsc ,r_{d}}$이 주어졌을 때, 임의의 가역원 ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{d}\in R^{\times }}$에 대하여 ${\displaystyle u_{1}r_{1},\dotsc ,u_{d}r_{d}}$ 역시 정칙렬이다.

국소화

${\displaystyle R}$-가군 ${\displaystyle M}$ 속의 정칙렬 ${\displaystyle r_{1},\dotsc ,r_{d}}$이 주어졌으며, ${\displaystyle R}$의 곱셈 모노이드 ${\displaystyle S\subseteq R}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 국소화 ${\displaystyle S^{-1}R}$로 가는 표준 환 준동형 ${\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R}$에 대하여, 원소열 ${\displaystyle \phi (r_{1}),\dotsc ,\phi (r_{d})}$ 역시 ${\displaystyle S^{-1}M}$의 정칙렬이다.

증명:

가군의 국소화는 완전 함자이며, 따라서 단사 가군 준동형은 단사 가군 준동형으로 대응된다. ${\displaystyle \phi (r_{1}),\dotsc ,\phi (r_{d})}$가 정칙렬이라는 것은

${\displaystyle (\phi (r_{i})\cdot )\colon {\frac {S^{-1}M}{(\phi (r_{1}),\dotsc ,\phi (r_{i-1}))S^{-1}M}}\to {\frac {S^{-1}M}{(\phi (r_{1}),\dotsc ,\phi (r_{i-1}))S^{-1}M}}}$

가 단사 함수라는 것인데, 이는 단사 함수

${\displaystyle r_{i}\colon {\frac {M}{(r_{1},\dotsc ,r_{i-1})M}}\to {\frac {M}{(r_{1},\dotsc ,r_{i-1})M}}}$

의 상이므로 단사 함수이다.

(※만약 정칙렬의 정의에 ${\displaystyle (r_{1},\dotsc ,r_{d})M\neq M}$이라는 조건을 추가한다면, 이 조건은 국소화에 의하여 일반적으로 보존되지 못한다.)

순열

정칙렬의 순열은 일반적으로 정칙렬이 아니다.

다만, 뇌터 가환환 ${\displaystyle R}$의 유한 생성 가군 ${\displaystyle M}$에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 정칙렬 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{d}}$의 순열은 역시 정칙렬이다.^{[1]:126, Theorem 16.3}

• 아이디얼 ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{d})}$은 ${\displaystyle R}$의 근기 ${\displaystyle \operatorname {rad} R}$의 부분 집합이다.

깊이

 이 부분의 본문은 가군의 깊이입니다.

 이 부분의 본문은 코언-매콜리 환입니다.

뇌터 가환환 ${\displaystyle R}$의 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subsetneq R}$ 및 유한 생성 가군 ${\displaystyle M}$이 주어졌을 때, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ 속에 포함된 ${\displaystyle M}$-정칙렬의 최대 길이를 ${\displaystyle ({\mathfrak {a}},M)}$의 깊이라고 한다. 이 개념은 호몰로지 대수학에서 중요한 역할을 한다.

국소 가환환에서, 극대 아이디얼에 포함된 정칙렬의 길이는 그 크룰 차원 이하이다. 이 상한을 포화시키는 (즉, 깊이와 차원이 일치하는) 국소 가환환을 코언-매콜리 국소환이라고 한다.

예

길이 1의 정칙렬은 단순히 가군의 영인자가 아닌 임의의 원소이다.

정칙렬이 아닌 정칙렬 순열

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}$를 스스로 위의 가군으로 간주하자. 이 경우,

${\displaystyle x,y(1-x),z(1-x)}$

는 정칙렬이다. 그러나 그 순열인

${\displaystyle y(1-x),z(1-x),x}$

는 정칙렬이 아니다.^{[1]:127, §16} 구체적으로, ${\displaystyle y(1-x)}$는 ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}$의 영인자가 아니지만, ${\displaystyle z(1-x)}$는 ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(y(1-x))}$의 영인자이다. 예를 들어

${\displaystyle z(1-x)\cdot y\in y(1-x)\mathbb {C} [x,y,z]}$

${\displaystyle y\not \in y(1-x)\mathbb {C} [x,y,z]}$

이다.

기하학적으로, ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}$는 3차원 아핀 공간이며, 이 경우

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(x)}$

는 ${\displaystyle x=0}$으로 정의되는 ${\displaystyle yz}$ 평면이다. 그 속에서

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(x,y(1-x))\cong \mathbb {C} [x,y,z]/(x,y)}$

는 ${\displaystyle z}$축이며,

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(x,y(1-x),z(1-x))\cong \mathbb {C} [x,y,z]/(x,y,z)}$

는 그 속의 원점이다.

반면,

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(y(1-x))}$

는 ${\displaystyle y=0}$ 평면과 ${\displaystyle x=1}$ 평면의 합집합이다. 그 속에서

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(y(1-x),z(1-x))}$

는

${\displaystyle y=z=0}$ 축과 ${\displaystyle x=1}$ 평면의 합집합이므로, 이는 양의 여차원을 갖지 못한다.

같이 보기

• 코쥘 복합체
• 가군의 깊이