다운샘플링

디지털 신호 처리에서 다운샘플링(downsampling), 서브샘플링, 압축 및 데시메이션(decimation)은 다중 속도 디지털 신호 처리 시스템에서 리샘플링 프로세스와 관련된 용어이다. 다운샘플링과 데시메이션은 압축과 동의어이거나 대역폭 감소(필터링) 및 샘플링 속도 감소의 전체 프로세스를 설명할 수 있다.^[1][2] 신호 또는 연속 함수의 샘플 시퀀스에 프로세스가 수행될 때, 더 낮은 속도(또는 사진의 경우 밀도)로 신호를 샘플링하여 얻을 수 있는 시퀀스의 근사치를 생성한다.

데시메이션은 역사적으로 열 개 중 하나를 제거하는 것을 의미하는 용어이다.^[a] 그러나 신호 처리에서 10배의 데시메이션은 실제로 10번째 샘플만 유지하는 것을 의미한다. 이 계수는 샘플링 간격을 곱하거나, 동등하게, 샘플링 속도를 나눈다. 예를 들어, 44,100 샘플/초의 콤팩트 디스크 오디오가 5/4 계수로 데시메이션되면 결과 샘플링 속도는 35,280이 된다. 데시메이션을 수행하는 시스템 구성 요소를 데시메이터라고 한다. 정수 계수 데시메이션은 압축이라고도 한다.^[3][4]

정수 계수 다운샘플링

정수 계수 M에 의한 속도 감소는 두 단계 프로세스로 설명될 수 있으며, 더 효율적인 동등한 구현이 가능하다.^[5]

1. 디지털 저역 통과 필터로 고주파 신호 구성 요소를 줄인다.
2. 필터링된 신호를 M으로 데시메이션한다. 즉, M번째 샘플만 유지한다.

2단계만으로는 바람직하지 않은 에일리어싱을 생성한다(즉, 고주파 신호 구성 요소가 낮은 주파수 대역으로 복사되어 낮은 주파수로 오인될 수 있다). 1단계는 필요한 경우 에일리어싱을 허용 가능한 수준으로 억제한다. 이 응용에서 필터는 위신호 제거 필터라고 불리며, 그 설계는 아래에서 논의된다. 대역통과 함수 및 신호 데시메이션에 대한 정보는 언더샘플링도 참조하라.

위신호 제거 필터가 IIR 설계인 경우, 두 번째 단계 이전에 출력에서 입력으로의 피드백에 의존한다. FIR 필터링의 경우, M번째 출력만 계산하는 것은 쉬운 일이다. n번째 출력 샘플에 대해 데시메이팅 FIR 필터가 수행하는 계산은 스칼라곱이다.^[b]

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[nM-k]\cdot h[k],}$

여기서 h[•] 시퀀스는 임펄스 응답이고, K는 그 길이이다. x[•]는 다운샘플링되는 입력 시퀀스를 나타낸다. 범용 프로세서에서 y[n]을 계산한 후, y[n+1]을 계산하는 가장 쉬운 방법은 x[•] 배열의 시작 인덱스를 M만큼 진행시키고 스칼라곱을 다시 계산하는 것이다. M=2의 경우, h[•]는 하프밴드 필터로 설계될 수 있으며, 여기서 계수의 거의 절반은 0이므로 스칼라곱에 포함될 필요가 없다.

M 간격으로 취해진 임펄스 응답 계수는 서브시퀀스를 형성하며, M개의 이러한 서브시퀀스(위상)가 함께 다중화된다. 스칼라곱은 각 서브시퀀스와 x[•] 시퀀스의 해당 샘플들의 스칼라곱들의 합이다. 또한, M에 의한 다운샘플링 때문에, M개의 스칼라곱 중 하나에 관련된 x[•] 샘플들의 스트림은 다른 스칼라곱에 전혀 관련되지 않는다. 따라서 M개의 저차 FIR 필터들은 각각 입력 스트림의 M개의 다중화된 위상 중 하나를 필터링하고, M개의 출력이 합산된다. 이 관점은 다중 프로세서 아키텍처에서 유리할 수 있는 다른 구현을 제공한다. 다시 말해, 입력 스트림은 역다중화되어 M개의 필터 뱅크를 통과하며, 그 출력은 합산된다. 그렇게 구현될 때, 이를 폴리페이즈 필터라고 부른다.

완전성을 위해, 각 위상의 가능하지만 있을 법하지 않은 구현은 h[•] 배열의 복사본에서 다른 위상의 계수를 0으로 바꾸고, 원래 x[•] 시퀀스를 입력 속도로 처리(즉, 0을 곱함)하고, 출력을 M 계수로 데시메이션하는 것이다. 이 비효율적인 방법과 위에 설명된 구현의 등가성은 첫 번째 노블 항등식으로 알려져 있다.^[6][c] 이는 때때로 폴리페이즈 방법의 유도에 사용된다.

그림 1: 이 그래프는 과도하게 샘플링된 함수와 원래 속도의 1/3로 샘플링된 동일한 함수의 스펙트럼 분포를 나타낸다. 이 예에서 대역폭 B는 느린 샘플링이 중첩(에일리어싱)을 일으키지 않을 만큼 충분히 작다. 때때로, 샘플링된 함수는 M번째 샘플만 유지하고 나머지를 버려 더 낮은 속도로 리샘플링되는데, 이를 일반적으로 "데시메이션"이라고 한다. 잠재적인 에일리어싱은 데시메이션 전에 샘플을 저역 통과 필터링하여 방지된다. 최대 필터 대역폭은 일반적인 필터 설계 응용 프로그램에서 사용되는 대역폭 단위로 표로 작성된다.

위신호 제거 필터

X(f)를 임의의 함수 x(t)의 푸리에 변환이라고 하자. 이 함수는 어떤 간격 T에서 샘플링되었을 때 x[n] 시퀀스와 같다. 그러면 이산시간 푸리에 변환 (DTFT)은 X(f)의 주기적 합의 푸리에 급수 표현이다.^[d]

${\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X{\Bigl (}f-{\frac {k}{T}}{\Bigr )}.}$

T가 초 단위일 때, ${\displaystyle f}$는 헤르츠 단위이다. 위의 공식에서 T를 MT로 대체하면 데시메이션된 시퀀스 x[nM]의 DTFT를 얻는다.

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n\cdot MT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fn(MT)}={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\tfrac {k}{MT}}\right).}$

주기적 합의 진폭과 주기성은 M 계수만큼 감소했다. 이 두 분포의 예는 그림 1의 두 트레이스에 묘사되어 있다.^[e][f][g] X(f)의 인접한 복사본이 겹칠 때 에일리어싱이 발생한다. 위신호 제거 필터의 목적은 감소된 주기성이 겹침을 생성하지 않도록 하는 것이다. X(f)의 복사본이 서로 겹치지 않도록 하는 조건은 다음과 같다. ${\displaystyle B<{\tfrac {0.5}{T}}\cdot {\tfrac {1}{M}},}$ 따라서 이는 이상적인 위신호 제거 필터의 최대 차단 주파수이다.^[A]

유리수 계수에 의한 다운샘플링

M/L을 데시메이션 계수라고 하자.^[B] 여기서: M, L ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$; M > L.

1. L 계수만큼 시퀀스를 증가(리샘플링)시킨다. 이를 업샘플링 또는 보간이라고 한다.
2. M 계수만큼 데시메이션한다.

1단계는 데이터 속도를 증가(확장)시킨 후 저역 통과 필터가 필요하고, 2단계는 데시메이션 전에 저역 통과 필터가 필요하다. 따라서 두 작업은 두 차단 주파수 중 낮은 주파수를 가진 단일 필터로 수행할 수 있다. M > L의 경우, 위신호 제거 필터 차단 주파수 ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{M}}}$ 사이클/중간 샘플이 더 낮은 주파수이다.

같이 보기

• 업샘플링
• 포스터리제이션
• 샘플링 속도 변환
• 에일리어싱
• 비스발링감-와이엇 알고리즘

내용주

1. 실현 가능한 저역 통과 필터는 응답이 거의 1에서 거의 0으로 감소하는 "스커트"를 갖는다. 실제로는 차단 주파수가 필터의 스커트가 이론적 차단 주파수 아래에 포함되도록 이론적 차단 주파수보다 충분히 낮게 설정된다.
2. 요소 R ∈ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$에 의한 샘플링 속도 변환을 위한 일반적인 기술에는 다항식 보간법 및 패로우 구조가 포함된다.^[7]

페이지 인용

1. 해리스 2004. "6.1". p 128.
2. 크로치어와 라비너 "2". p 32. eq 2.55a.
3. 해리스 2004. "2.2.1". p 25.
4. 오펜하임과 샤퍼. "4.2". p 143. eq 4.6, 여기서:  ${\displaystyle \Omega \triangleq 2\pi f,}$  ${\displaystyle X_{s}(i\Omega )\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \Omega nT},}$  그리고  ${\displaystyle X_{c}(i2\pi f)\triangleq X(f).}$
5. 해리스 2004. "2.2". p 22. fig 2.10.
6. 오펜하임과 샤퍼. "4.6". p 171. fig 4.22.
7. 탄 2008. "1.2.1". fig 12.2.