다이슨 급수

산란 이론의 일부인 수리물리학에서 프리먼 다이슨이 공식화한 다이슨 급수(영어: Dyson series)는 상호작용 묘사에서 시간 변화 연산자의 섭동 전개이다. 각 항은 파인만 도형의 합으로 나타낼 수 있다.

이 급수는 점근적으로 발산하지만, 양자 전기역학(QED)에서는 2차에서 실험 자료와의 차이가 10⁻¹⁰ 정도이다. 이 근접한 일치는 QED의 결합 상수(또는 미세 구조 상수)가 1보다 훨씬 작기 때문에 유지된다.

다이슨 연산자

상호작용 묘사에서 해밀토니언 H는 자유 부분 H₀과 상호작용 부분 V_S(t)으로 H = H₀ + V_S(t)와 같이 나눌 수 있다.

상호작용 묘사에서의 퍼텐셜은 다음과 같다.

${\displaystyle V_{\mathrm {I} }(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar }V_{\mathrm {S} }(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar },}$

여기서 ${\displaystyle H_{0}}$는 시간에 독립적이고 ${\displaystyle V_{\mathrm {S} }(t)}$는 슈뢰딩거 묘사의 시간 의존적인 상호작용 부분이다. 아래 첨자를 피하기 위해, 다음부터 ${\displaystyle V(t)}$는 ${\displaystyle V_{\mathrm {I} }(t)}$를 나타낸다.

상호작용 묘사에서 진화 연산자 U는 다음 방정식으로 정의된다.

${\displaystyle \Psi (t)=U(t,t_{0})\Psi (t_{0})}$

이것은 때때로 다이슨 연산자라고 불린다.

진화 연산자는 시간 매개변수에 대해 유니터리 군을 형성한다. 그것은 다음의 군 속성을 가진다.

• 항등 및 정규화: ${\displaystyle U(t,t)=1,}$^[1]
• 합성: ${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}),}$^[2]
• 시간 역전: ${\displaystyle U^{-1}(t,t_{0})=U(t_{0},t),}$
• 유니터리성: ${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=\mathbb {1} }$^[3]

이것들로부터 전파자의 시간 진화 방정식을 유도할 수 있다.^[4]

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}U(t,t_{0})\Psi (t_{0})=V(t)U(t,t_{0})\Psi (t_{0}).}$

상호작용 묘사에서 해밀토니언은 상호작용 퍼텐셜 ${\displaystyle H_{\rm {int}}=V(t)}$와 같으므로 방정식은 상호작용 묘사에서 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\Psi (t)=H_{\rm {int}}\Psi (t)}$

주의: 이 시간 진화 방정식은 도모나가-슈윙거 방정식과 혼동해서는 안 된다.

형식적인 해는 다음과 같다.

${\displaystyle U(t,t_{0})=1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\ V(t_{1})U(t_{1},t_{0})},}$

이것은 궁극적으로 볼테라 적분의 한 유형이다.

다이슨 급수의 유도

위 볼테라 방정식의 반복 해는 다음 노이만 급수로 이어진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})={}&1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}V(t_{1})+(-i\hbar ^{-1})^{2}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt_{2}V(t_{1})V(t_{2})+\cdots \\&{}+(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})+\cdots .\end{aligned}}}$

여기서 ${\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}$이며, 따라서 장은 시간 정렬되어 있다. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 연산자(시간 정렬 연산자)를 도입하고 다음과 같이 정의하는 것이 유용하다.

${\displaystyle U_{n}(t,t_{0})=(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

적분 한계는 단순화될 수 있다. 일반적으로 대칭 함수 ${\displaystyle K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})}$가 주어졌을 때 다음 적분들을 정의할 수 있다.

${\displaystyle S_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}$

그리고

${\displaystyle I_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}$

두 번째 적분의 적분 영역은 ${\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}$으로 정의되는 ${\displaystyle n!}$개의 부분 영역으로 나눌 수 있다. ${\displaystyle K}$의 대칭성 때문에 각 부분 영역에서의 적분은 동일하며 정의에 따라 ${\displaystyle S_{n}}$과 같다. 따라서 다음이 성립한다.

${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{n!}}I_{n}.}$

이것을 이전 항등식에 적용하면 다음을 얻는다.

${\displaystyle U_{n}={\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

모든 항을 합하면 다이슨 급수가 얻어진다. 이것은 위의 노이만 급수의 단순화된 버전으로 시간 순서 곱을 포함하며, 경로 정렬 지수이다.^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})&=\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(t,t_{0})\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})\\&={\mathcal {T}}\exp {-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{d\tau V(\tau )}}\end{aligned}}}$

이 결과는 다이슨 공식이라고도 불린다.^[6] 이 공식으로부터 군 법칙들을 유도할 수 있다.

상태 벡터에 대한 적용

시간 ${\displaystyle t}$에서의 상태 벡터는 ${\displaystyle t>t_{0}}$일 때 시간 ${\displaystyle t_{0}}$에서의 상태 벡터로 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{\rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{\rm {i}}}\,{\mathcal {T}}\left\{\prod _{k=1}^{n}e^{iH_{0}t_{k}/\hbar }V(t_{k})e^{-iH_{0}t_{k}/\hbar }\right\}|\Psi (t_{0})\rangle .}$

슈뢰딩거 묘사에서 ${\displaystyle t_{i}=t_{0}}$에서의 초기 상태와 ${\displaystyle t_{f}=t}$에서의 최종 상태의 내적은 ${\displaystyle t_{f}>t_{i}}$일 때 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \Psi (t_{\rm {i}})&\mid \Psi (t_{\rm {f}})\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\times \\&\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{\rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{\rm {i}}}\,\langle \Psi (t_{i})\mid e^{-iH_{0}(t_{\rm {f}}-t_{1})/\hbar }V_{\rm {S}}(t_{1})e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})/\hbar }\cdots V_{\rm {S}}(t_{n})e^{-iH_{0}(t_{n}-t_{\rm {i}})/\hbar }\mid \Psi (t_{i})\rangle \end{aligned}}}$

하이젠베르크 묘사에서 이를 작성하고, 입사 및 출사 상태를 무한대로 취함으로써 S-행렬을 얻을 수 있다.^[7]

${\displaystyle \langle \Psi _{\rm {out}}\mid S\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle =\langle \Psi _{\rm {out}}\mid \sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int d^{4}x_{1}\cdots d^{4}x_{n}} _{t_{\rm {out}}\,\geq \,t_{n}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{1}\,\geq \,t_{\rm {in}}}\,{\mathcal {T}}\left\{H_{\rm {int}}(x_{1})H_{\rm {int}}(x_{2})\cdots H_{\rm {int}}(x_{n})\right\}\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle .}$

시간 정렬이 스칼라 곱에서 뒤집혔다는 점에 유의한다.

같이 보기

• 슈윙거-다이슨 방정식
• 매그너스 급수
• 페아노-베이커 급수
• 피카르 반복