대각 행렬

선형대수학에서 대각 행렬(對角行列, 영어: diagonal matrix)은 주대각선 성분이 아닌 모든 성분이 0인 정사각 행렬이다.^{[1][2][3]:100}

정의

환 ${\displaystyle R}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;R)}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 행렬을 대각 행렬이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle i\neq j}$라면, ${\displaystyle D_{ij}=0}$
• ${\displaystyle D}$는 상삼각 행렬이며, 동시에 하삼각 행렬이다.

각 ${\displaystyle i}$번째 대각 성분이 ${\displaystyle d_{i}\in R}$인 대각 행렬은 다음과 같이 표기할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {diag} (d_{1},\dots ,d_{n})={\begin{pmatrix}d_{1}\\&d_{2}\\&&\ddots \\&&&d_{n}\end{pmatrix}}}$

마찬가지로, 임의의 크기 ${\displaystyle m\times n}$의 대각 행렬을 정의할 수 있으며, 이 경우 다음과 같은 표기를 사용할 수 있다.^{[1]:18, §1.2.6}

${\displaystyle \operatorname {diag} _{m\times n}(d_{1},\dots ,d_{\min\{m,n\}})}$

성질

대칭성과 반대칭성

환 ${\displaystyle R}$ 위의 모든 대각 행렬 ${\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;R)}$는 대칭 행렬이자 반대칭 행렬이다.

표수가 2가 아닌 환 ${\displaystyle R}$ 위의 정사각 행렬 ${\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;R)}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle D}$는 대각 행렬이다.
• ${\displaystyle D}$는 대칭 행렬이며, 또한 반대칭 행렬이다.

(표수 2의 환 위에서는 대칭 행렬과 반대칭 행렬이 동치이며, 이는 일반적으로 대각 행렬과 동치가 아니다.)

고윳값

체 ${\displaystyle K}$ 위의 대각 행렬 ${\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;K)}$의 고윳값은 대각 성분들이다. 각 고윳값의 기하적 중복도는 대수적 중복도와 일치하며, 이는 단순히 대각 성분이 나타난 횟수이다.

대각화

 이 부분의 본문은 대각화 가능 행렬입니다.

환 ${\displaystyle R}$ 위의 모든 대각 행렬 ${\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;R)}$는 자명하게 대각화 가능 행렬이다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle M}$은 대각화 가능 행렬이다.
• ${\displaystyle M}$의 모든 고윳값의 기하적 중복도는 그 대수적 중복도와 일치한다.
• ${\displaystyle M}$의 최소 다항식은 1차 다항식들의 곱이다.

직교 대각화와 유니터리 대각화

 이 부분의 본문은 대칭 행렬입니다.

 이 부분의 본문은 정규 행렬입니다.

실수 정사각 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[2]::315, §8.5}

• ${\displaystyle M}$은 직교 대각화 가능 행렬이다. 즉, ${\displaystyle Q^{-1}MQ}$가 대각 행렬이 되는 실수 직교 행렬 ${\displaystyle Q\in \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )}$가 존재한다.
• ${\displaystyle M}$은 대칭 행렬이다.

복소수 정사각 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[2]::311–317, §8.5}

• ${\displaystyle M}$은 유니터리 대각화 가능 행렬이다. 즉, ${\displaystyle U^{-1}MU}$가 대각 행렬이 되는 유니터리 행렬 ${\displaystyle U\in \operatorname {U} (n)}$이 존재한다.
• ${\displaystyle M}$은 정규 행렬이다.

복소수 정사각 행렬 ${\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^{[2]::315–316, §8.5, Theorem 20}

• ${\displaystyle D}$는 대각 행렬이다.
• ${\displaystyle D}$는 상삼각 행렬이며, 정규 행렬이다.
• ${\displaystyle D}$는 하삼각 행렬이며, 정규 행렬이다.

특히, 대각 행렬이 아닌 복소수 상·하삼각 행렬은 유니터리 대각화 가능하지 않다.

예

모든 스칼라 행렬은 대각 행렬이다. 특히, 단위 행렬과 영행렬은 대각 행렬이다.

다음 실수 ${\displaystyle 4\times 4}$ 정사각 행렬은 대각 행렬이다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&5&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$

다음 실수 ${\displaystyle 5\times 3}$ 행렬은 대각 행렬이다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&6\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

다음 실수 ${\displaystyle 2\times 4}$ 행렬은 대각 행렬이다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}9&0&0&0\\0&5&0&0\end{pmatrix}}}$

같이 보기

• 띠행렬
• 반대각 행렬