대응 정리

추상대수학에서, 대응 정리(영어: correspondence theorem)는^{[1][2][3][4][5][6][7][8]} 또는 제4 동형 정리(영어: fourth isomorphism theorem)^[9] 또는 격자 정리(영어: lattice theorem)는 몫 대수 구조의 합동 관계들을 묘사하는 정리이다.

정의

대수 구조 ${\displaystyle A}$와 그 위의 합동 관계 ${\displaystyle {\sim }\in \operatorname {Cong} (A)}$가 주어졌다고 하자. 대응 정리에 따르면, 다음 두 격자는 동형이다.^{[10]:49, Theorem 6.20}

• 몫 대수 위의 합동 관계들의 격자 ${\displaystyle \operatorname {Cong} (A/{\sim })}$
• ${\displaystyle A}$의 합동 관계들 가운데, ${\displaystyle {\sim }}$에 의하여 함의되는 것들의 격자 ${\displaystyle \mathop {\uparrow } {\sim }=\{{\sim }'\in \operatorname {Cong} (A)\colon \forall a,b\in A\colon a\sim b\implies a\sim 'b\}}$. 이는 ${\displaystyle A}$의 합동 관계 격자 ${\displaystyle \operatorname {Cong} (A)}$의 부분 격자를 이룬다.

두 격자 사이의 동형 사상은 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mathop {\uparrow } {\sim }\to \operatorname {Cong} (A/{\sim })}$

${\displaystyle {\sim }'\mapsto {\sim }'/{\sim }}$

여기서 ${\displaystyle {\sim }'/{\sim }}$은 다음과 같은 ${\displaystyle A/{\sim }}$ 위의 이항 관계다.

${\displaystyle [a]_{\sim }\mathrel {{\sim }'/{\sim }} [b]_{\sim }\iff a\sim 'b}$

즉, 대응 정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.

• 만약 ${\displaystyle {\sim }'}$이 ${\displaystyle {\sim }}$을 포함하는 ${\displaystyle A}$ 위의 합동 관계라면, ${\displaystyle {\sim }'/{\sim }}$은 ${\displaystyle A/{\sim }}$ 위의 합동 관계이다.
• ${\displaystyle A/{\sim }}$ 위의 모든 합동 관계는 어떤 ${\displaystyle {\sim }}$을 포함하는 ${\displaystyle A}$ 위의 합동 관계 ${\displaystyle {\sim }'}$에 대하여 ${\displaystyle {\sim }'/{\sim }}$의 꼴로 나타낼 수 있다.
• ${\displaystyle {\sim }}$을 포함하는 ${\displaystyle A}$ 위의 합동 관계 ${\displaystyle {\sim }_{1},{\sim }_{2}\in \mathop {\uparrow } {\sim }}$에 대하여, 다음이 성립한다.
  • ${\displaystyle a\sim _{1}b}$가 ${\displaystyle a\sim _{2}b}$를 함의하는 것과 ${\displaystyle a\mathrel {{\sim }_{1}/{\sim }} b}$는 ${\displaystyle a\mathrel {{\sim }_{2}/{\sim }} b}$를 함의하는 것은 서로 필요충분조건이다.
  • ${\displaystyle ({\sim }_{1}\vee {\sim }_{2})/{\sim }={\sim }_{1}/{\sim }\vee {\sim }_{2}/{\sim }}$. 여기서 ${\displaystyle {\sim }_{1}\vee {\sim }_{2}}$는 ${\displaystyle \sim _{1}}$과 ${\displaystyle \sim _{2}}$로 생성되는 합동 관계이다.
  • ${\displaystyle ({\sim }_{1}\cap {\sim }_{2})/{\sim }={\sim }_{1}/{\sim }\cap {\sim }_{2}/{\sim }}$. 여기서 ${\displaystyle {\sim }_{1}\cap {\sim }_{2}}$는 ${\displaystyle a\mathrel {{\sim }_{1}\cap {\sim }_{2}} b\iff a\sim _{1}b\land a\sim _{2}b}$로 정의된다.

예

대응 정리는 모든 종류의 대수 구조에 적용할 수 있다. 군, 환, 가군 등 일부 대수 구조의 경우, 합동 관계가 특별한 부분 대수와 일대일 대응하며, 대응 정리에 등장하는 동형 사상을 몫 대수의 부분 대수에 대하여 확장할 수 있다.

군

군 ${\displaystyle G}$ 및 정규 부분군 ${\displaystyle N\vartriangleleft G}$에 대하여, ${\displaystyle N}$을 포함하는 ${\displaystyle G}$의 부분군의 격자와 몫군의 부분군들의 격자 사이의 함수

${\displaystyle \mathop {\uparrow } N=\{H\leq G\colon N\subseteq H\}\to \operatorname {Sub} (G/N)}$

${\displaystyle H\mapsto H/N=\{hN\colon h\in H\}}$

를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle H\mapsto H/N}$은 격자의 동형 사상이다. 즉,
  • 임의의 ${\displaystyle N\leq H\leq G}$에 대하여, ${\displaystyle H/N\leq G/N}$
  • 임의의 ${\displaystyle K\leq G/N}$에 대하여, ${\displaystyle K=H/N}$인 ${\displaystyle N\leq H\leq G}$가 존재한다.
  • 임의의 ${\displaystyle N\leq H,K\leq G}$에 대하여,
    • ${\displaystyle H\leq K}$일 필요충분조건은 ${\displaystyle H/N\leq K/N}$이다.
    • ${\displaystyle \langle H\cup K\rangle /N=\langle H/N\cup K/N\rangle }$. 여기서 ${\displaystyle \langle H\cup K\rangle }$는 ${\displaystyle H\cup K}$로 생성된 부분군이다.
    • ${\displaystyle (H\cap K)/N=H/N\cap K/N}$
• ${\displaystyle H\vartriangleleft G}$일 필요충분조건은 ${\displaystyle H/N\vartriangleleft G/N}$이다.

환

환 ${\displaystyle R}$ 및 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$를 포함하는 부분군의 격자와 몫환의 부분환 격자 사이의 함수

${\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathfrak {a}}=\{S\in \operatorname {Sub} (R)\colon {\mathfrak {a}}\subset S\}\to \operatorname {Sub} (R/{\mathfrak {a}})}$

${\displaystyle S\mapsto S/{\mathfrak {a}}=\{s+{\mathfrak {a}}\colon s\in S\}}$

를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle S\mapsto S+{\mathfrak {a}}}$는 격자의 동형 사상이다. 즉,
  • 임의의 부분환 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset S\subset R}$에 대하여, ${\displaystyle S/{\mathfrak {a}}}$는 ${\displaystyle R/{\mathfrak {a}}}$의 부분환이다.
  • 임의의 부분환 ${\displaystyle T\subset R/{\mathfrak {a}}}$에 대하여, ${\displaystyle T=S/{\mathfrak {a}}}$인 부분환 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset S\subset R}$가 존재한다.
  • 임의의 부분환 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset S,T\subset R}$에 대하여,
    • ${\displaystyle S\subset T}$일 필요충분조건은 ${\displaystyle S/{\mathfrak {a}}\subset T/{\mathfrak {a}}}$이다.
    • ${\displaystyle \langle S\cup T\rangle /{\mathfrak {a}}=\langle S/{\mathfrak {a}}\cup T/{\mathfrak {b}}\rangle }$. 여기서 ${\displaystyle \langle S\cup T\rangle }$는 ${\displaystyle S\cup T}$로 생성된 부분환이다.
    • ${\displaystyle (S\cap T)/{\mathfrak {a}}=S/{\mathfrak {a}}\cap T/{\mathfrak {a}}}$
• ${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle R}$의 아이디얼일 필요충분조건은 ${\displaystyle S/{\mathfrak {a}}}$가 ${\displaystyle R/{\mathfrak {a}}}$의 아이디얼인 것이다.

가군

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle M}$ 및 부분 가군 ${\displaystyle N\subset M}$에 대하여, ${\displaystyle N}$을 포함하는 부분 가군의 격자와 몫 가군의 부분 가군 격자 사이의 함수

${\displaystyle \mathop {\uparrow } N=\{N'\in \operatorname {Sub} (M)\colon N\subset N'\}\to \operatorname {Sub} (M/N)}$

${\displaystyle N'\mapsto N'/N=\{m+N\colon m\in N'\}}$

는 격자의 동형 사상이다. 즉, 다음이 성립한다.

• 임의의 부분 가군 ${\displaystyle N\subset N'\subset M}$에 대하여, ${\displaystyle N'/N}$는 ${\displaystyle M/N}$의 부분 가군이다.
• 임의의 부분 가군 ${\displaystyle N''\subset M/N}$에 대하여, ${\displaystyle N''=N'/N}$인 부분 가군 ${\displaystyle N\subset N'\subset M}$가 존재한다.
• 임의의 부분 가군 ${\displaystyle N\subset N',N''\subset M}$에 대하여,
  • ${\displaystyle N'\subset N''}$일 필요충분조건은 ${\displaystyle N'/N\subset N''/N}$이다.
  • ${\displaystyle (N'+N'')/N=N'/N+N''/N}$
  • ${\displaystyle (N'\cap N'')/N=N'/N\cap N''/N}$

같이 보기

• 모듈러 격자