격자 (순서론)

순서론에서 격자(格子, 영어: lattice)는 두 원소의 상한(이음, 영어: join 조인^[*])과 하한(만남, 영어: meet 미트^[*])이 항상 존재하는 부분 순서 집합이다.

정의

(유계) 격자의 개념은 추상대수학적으로, 순서론적으로, 또는 범주론적으로 정의할 수 있으며, 이 세 정의는 서로 동치이다.

대수학적 정의

유계 격자(有界格子, 영어: bounded lattice) ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge ,\bot ,\top )}$는 두 개의 이항 연산 ${\displaystyle \land ,\lor \colon L^{2}\to L}$ 및 두 상수 ${\displaystyle \bot ,\top \in L}$가 주어지고, 다음 공리들을 만족시키는 대수 구조이다.

• ${\displaystyle (L,\land ,\top )}$는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 임의의 ${\displaystyle a,b,c\in L}$에 대하여 ${\displaystyle (a\land b)\land c=a\land (b\land c)}$이며 ${\displaystyle a\land b=b\land a}$이며 ${\displaystyle a\land \top =a}$이다.
• ${\displaystyle (L,\lor ,\bot )}$는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 임의의 ${\displaystyle a,b,c\in L}$에 대하여 ${\displaystyle (a\lor b)\lor c=a\lor (b\lor c)}$이며 ${\displaystyle a\lor b=b\lor a}$이며 ${\displaystyle a\lor \bot =a}$이다.
• (흡수성) 임의의 ${\displaystyle a,b\in L}$에 대하여, ${\displaystyle a\vee (a\wedge b)=a\wedge (a\vee b)=a}$

이로부터 다음 성질을 증명할 수 있다.

• (흡수성) ${\displaystyle a\lor \top =\top }$이며 ${\displaystyle a\land \bot =\bot }$
• (멱등성) ${\displaystyle a\land a=a\lor a=a}$

증명

흡수성:

${\displaystyle a\lor \top =(a\land \top )\lor \top =\top }$

${\displaystyle a\land \bot =(a\lor \bot )\land \bot =\bot }$

멱등성:

${\displaystyle a\wedge a=a\wedge (a\vee (a\wedge a))=a}$

${\displaystyle a\vee a=a\vee (a\wedge (a\vee a))=a}$

여기서 이항 연산 ${\displaystyle \vee }$를 이음, ${\displaystyle \wedge }$를 만남이라고 하며, ${\displaystyle \top }$은 최대 원소, ${\displaystyle \bot }$은 최소 원소라고 한다.

유계 격자의 정의에서 모노이드를 반군으로 약화시킨다면 (즉, 항등원의 존재를 생략한다면) 격자의 개념을 얻는다. 즉, 격자 ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$는 다음 세 공리들을 만족시키는 이항 연산 ${\displaystyle \vee ,\wedge \colon L\times L\to L}$이 주어진 대수 구조이다. 모든 ${\displaystyle a,b,c\in L}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle (L,\land )}$는 가환 반군을 이룬다. 즉, 임의의 ${\displaystyle a,b,c\in L}$에 대하여 ${\displaystyle (a\land b)\land c=a\land (b\land c)}$이며 ${\displaystyle a\land b=b\land a}$이다.
• ${\displaystyle (L,\lor )}$는 가환 반군을 이룬다. 즉, 임의의 ${\displaystyle a,b,c\in L}$에 대하여 ${\displaystyle (a\lor b)\lor c=a\lor (b\lor c)}$이며 ${\displaystyle a\lor b=b\lor a}$이다.
• (흡수성) 임의의 ${\displaystyle a,b\in L}$에 대하여, ${\displaystyle a\vee (a\wedge b)=a\wedge (a\vee b)=a}$

이로부터 다음을 증명할 수 있다.

격자 ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$에 다음과 같은 부분 순서 ${\displaystyle \leq }$를 줄 수 있다.

${\displaystyle a\leq b\iff a=a\wedge b\iff b=a\vee b}$

(이 두 성질은 흡수 법칙에 따라 동등하다.)

순서론적 정의

원순서 집합 ${\displaystyle (L,\lesssim )}$이 다음 조건을 만족시킨다면, 유계 원격자(有界原格子, 영어: bounded prelattice)라고 한다.

• 모든 유한 집합은 상한을 갖는다. (특히, 공집합의 경우, ${\displaystyle L}$은 최대 원소를 갖는다.)
• 모든 유한 집합은 하한을 갖는다. (특히, 공집합의 경우, ${\displaystyle L}$은 최소 원소를 갖는다.)

원순서 집합 ${\displaystyle (L,\lesssim )}$이 다음 조건을 만족시킨다면, 원격자(原格子, 영어: prelattice)라고 한다.

• 공집합이 아닌 모든 유한 집합은 상한을 갖는다.
• 공집합이 아닌 모든 유한 집합은 하한을 갖는다.

(유계) 원격자에서 상한·하한은 일반적으로 유일하지 않지만, 만약 여럿이 존재한다면 이들은 서로 동치이다. 즉, 그 동치류를 취할 수 있다. 이 개념을 대수적으로 정의하려면 연산이 유일하게 정의되어야 하므로, 원순서 집합 대신 부분 순서 집합을 사용하면 (유계) 격자(영어: (bounded) lattice)의 개념을 얻는다. 즉, (유계) 원격자인 부분 순서 집합을 (유계) 격자라고 한다.

범주론적 정의

원순서 집합은 작은 얇은 범주로 간주할 수 있으며, 따라서 격자의 순서론적 정의를 범주론의 언어로 재해석할 수 있다.

원순서 집합(작은 얇은 범주) ${\displaystyle (L,\lesssim )}$가 다음 두 조건을 만족시키면, 원격자(原格子, 영어: prelattice)라고 한다.

• 시작 대상을 제외한 모든 유한 곱을 갖는다.
• 끝 대상을 제외한 모든 유한 쌍대곱을 갖는다.

원순서 집합(작은 얇은 범주) ${\displaystyle (L,\lesssim )}$가 다음 두 조건을 만족시키면, 유계 원격자(有界原格子, 영어: bounded prelattice)라고 한다.

• 모든 유한 곱을 갖는다.
• 모든 유한 쌍대곱을 갖는다.

(유계) 원격자 ${\displaystyle (L,\lesssim )}$ 속에서, 만약 서로 동형인 두 대상이 항상 같다면, 이를 (유계) 격자라고 한다.

이 경우, 세 정의들은 각각 다음과 같이 대응한다.

대수적 정의	순서론적 정의	범주론적 정의
원소	원소	대상
두 원소의 이음 ${\displaystyle a\lor b}$	두 원소의 상한 ${\displaystyle \sup\{a,b\}}$	두 대상의 쌍대곱 ${\displaystyle a\sqcup b}$
두 원소의 만남 ${\displaystyle a\land b}$	두 원소의 하한 ${\displaystyle \inf\{a,b\}}$	두 대상의 곱 ${\displaystyle a\times b}$
${\displaystyle a=a\land b}$ 또는 ${\displaystyle b=a\lor b}$	부분 순서 ${\displaystyle a\leq b}$	사상 ${\displaystyle a\to b}$의 존재
이음의 항등원 ${\displaystyle \bot }$	최소 원소 ${\displaystyle \min L}$	시작 대상 ${\displaystyle 0}$
만남의 항등원 ${\displaystyle \top }$	최대 원소 ${\displaystyle \max L}$	끝 대상 ${\displaystyle 1}$

격자 준동형

격자 준동형이 아닌 증가 함수. ${\displaystyle u\vee v=1}$이지만, ${\displaystyle u'\vee u'=u'\neq 1'}$이다.

두 유계 격자 ${\displaystyle L,L'}$ 사이의 유계 격자 준동형(영어: bounded lattice homomorphism)은 유한 이음과 만남을 보존하는 함수 ${\displaystyle \phi \colon L\to L'}$이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 함수이다. 임의의 유한 부분 집합 ${\displaystyle S\in L}$에 대하여,

${\displaystyle \bigvee \phi (S)=\phi \left(\bigvee S\right)}$

${\displaystyle \bigwedge \phi (S)=\phi \left(\bigwedge S\right)}$

이 경우, 만약 ${\displaystyle a\leq b}$라면 마찬가지로 ${\displaystyle \phi (a)\leq \phi (b)}$임을 쉽게 보일 수 있다. 따라서, 유계 격자 준동형은 증가 함수이다. 반면, 증가 함수이지만 격자 준동형이 아닌 함수도 존재한다.

두 격자 ${\displaystyle L,L'}$ 사이의 격자 준동형(영어: lattice homomorphism)은 공집합이 아닌 유한 이음과 만남을 보존하는 함수 ${\displaystyle \phi \colon L\to L'}$이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 함수이다. 임의의 유한 부분 집합 ${\displaystyle S\in L}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle S}$가 공집합이 아니라면,

${\displaystyle \bigvee \phi (S)=\phi \left(\bigvee S\right)}$

${\displaystyle \bigwedge \phi (S)=\phi \left(\bigwedge S\right)}$

모든 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

반대 격자

주어진 격자 ${\displaystyle (L,\leq _{L},\wedge _{L},\vee _{L})}$에 대하여, 그 반대 격자(영어: opposite lattice) ${\displaystyle L^{\operatorname {op} }}$는 집합 ${\displaystyle L}$에 다음과 같은 격자 연산을 부여한 격자이다. 모든 ${\displaystyle a,b\in L}$에 대하여,

${\displaystyle a\vee _{L^{\operatorname {op} }}b=a\wedge _{L}b}$

${\displaystyle a\wedge _{L^{\operatorname {op} }}b=a\vee _{L}b}$

${\displaystyle a\leq _{L^{\operatorname {op} }}b=a\geq _{L}b}$

즉, 부분 순서가 반대 방향이 되고, 만남과 이음이 서로 치환된다.

예

전순서

전순서 집합 ${\displaystyle (T,\leq )}$은 격자를 이룬다. 이 경우

${\displaystyle a\vee b=\max\{a,b\}}$

${\displaystyle a\wedge b=\min\{a,b\}}$

이다.

부분 집합 격자

세 원소를 가진 집합의 부분 집합의 격자

집합 ${\displaystyle S}$의 멱집합 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)=\{A\subset S\}}$은 부분 집합 관계 ${\displaystyle \subset }$을 통해 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합은 격자를 이루며, 이 경우 집합 ${\displaystyle S}$의 어떤 두 부분 집합의 이음과 만남은 각각 두 부분 집합의 합집합과 교집합이다.

${\displaystyle A\subset B\iff A\leq B}$

${\displaystyle A\cup B=A\vee B}$

${\displaystyle A\cap B=A\wedge B}$

마찬가지로, ${\displaystyle S}$의 유한 부분 집합들의 집합 ${\displaystyle \{A\subset S\colon |A|<\aleph _{0}\}}$ 또한 격자를 이룬다.

약수의 격자

60의 약수들의 격자

양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle n}$의 (양의 정수인) 약수들은 격자를 이룬다. 마찬가지로, 모든 양의 정수의 격자 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 역시 격자를 이룬다. 이 경우, 격자 연산은 다음과 같다.

정수론	격자
${\displaystyle a\mid b}$ (약수 관계)	${\displaystyle a\leq b}$
${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)}$ (최소공배수)	${\displaystyle a\vee b}$
${\displaystyle \gcd(a,b)}$ (최대공약수)	${\displaystyle a\wedge b}$

이는 환 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$ 또는 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$의 아이디얼들의 격자의 특수한 경우이다.

분할 격자

집합 ${\displaystyle S}$의 분할 ${\displaystyle P\subset {\mathcal {P}}(S)}$들의 집합은 격자를 이룬다.

분할	격자
분할의 세분 ${\displaystyle \forall p\in P\colon \exists q\in Q\colon p\subset q}$	${\displaystyle P\leq Q}$
공통 세분 ${\displaystyle \{p\cap q|p\in P,q\in Q\}}$	${\displaystyle P\wedge Q}$
공통 역세분 ${\displaystyle \min\{R|R\geq P,Q\}}$	${\displaystyle P\vee Q}$

열린집합의 격자

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 열린집합들은 포함 관계에 대하여 격자를 이룬다. 이 격자는 완비 헤이팅 대수이다.

대수학에서의 격자

대칭군 ${\displaystyle S_{4}}$의 부분군의 격자

군 ${\displaystyle G}$의 부분군들의 집합은 유계 완비 격자를 이룬다.

부분군	격자
${\displaystyle H\subset H'}$	${\displaystyle H\leq H'}$
${\displaystyle H\cap H'}$	${\displaystyle H\wedge H'}$
${\displaystyle \langle H\cup H'\rangle }$ (${\displaystyle H\cup H'}$으로 생성되는 부분군)	${\displaystyle H\vee H'}$
1 (자명군)	${\displaystyle \bot }$
${\displaystyle G}$	${\displaystyle \top }$

마찬가지로, 주어진 군의 정규 부분군들 역시 완비 모듈러 격자를 이룬다.

유사환 ${\displaystyle R}$의 아이디얼들의 집합 ${\displaystyle \operatorname {Ideal} (R)}$은 유계 완비 격자를 이룬다.

아이디얼	격자
${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}}$	${\displaystyle {\mathfrak {a}}\leq {\mathfrak {b}}}$
${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}}$	${\displaystyle {\mathfrak {a}}\wedge {\mathfrak {b}}}$
${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$	${\displaystyle {\mathfrak {a}}\vee {\mathfrak {b}}}$
${\displaystyle \{0\}}$	${\displaystyle \bot }$
${\displaystyle R}$	${\displaystyle \top }$

벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 부분 벡터 공간들의 집합은 완비 격자를 이룬다. 이 격자는 양자 논리의 기반을 이룬다.

벡터 공간	격자
${\displaystyle A\subset B}$	${\displaystyle A\leq B}$
${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\wedge B}$
${\displaystyle \operatorname {span} (A,B)}$	${\displaystyle A\vee B}$
${\displaystyle \{0\}}$	${\displaystyle \bot }$
${\displaystyle V}$	${\displaystyle \top }$

역사

19세기에 조지 불은 명제 논리의 분석을 위하여 1848년에 유계 격자의 일종인 불 대수를 도입하였다.^[1]:252 이와 독자적으로, 리하르트 데데킨트는 19세기 말에 대수적 수론에서 "쌍대군"(독일어: Dualgruppe 두알그루페^[*])의 개념을 도입하였으며,^[2][3] 이는 오늘날의 격자의 개념과 유사하다. 그러나 데데킨트의 이 개념은 당시에 주목받지 못했다.^[1]:253

이후 1920년대에 격자 이론은 다시 연구되기 시작하였다. 프리츠 클라인바르멘(독일어: Fritz Klein-Barmen, 1892~1961)은 이 개념을 독일어: Verband 페르반트^[*](조직, 기구, 군 부대)라고 명명하였고,^{[4]:117[5]:55, 주석 4} 이 용어는 오늘날 독일어에서 사용되고 있다.^[1]:253 개릿 버코프(1911~1996)는 이를 추상대수학에 응용하였고, 영어: lattice 래티스^[*])(격자)라는 용어를 도입하였다.^{[6][5]:55, 주석 4[1]:254} 프랑스어 용어 프랑스어: treillis 트레이^[*](창살, 전투복)는 1945년에 마르셀폴 쉬첸베르제(프랑스어: Marcel-Paul Schützenberger, 1920~1996)가 도입하였다.^{[7][5]:55, 주석 4}