대칭 공간

이 문서는 특별한 동차 공간에 관한 것입니다. 약한 분리 공리를 만족시키는 위상 공간에 대해서는 R0 공간 문서를 참고하십시오.

리만 기하학과 리 군론에서 대칭 공간(對稱空間, 영어: symmetric space)은 일반점의 안정자군이 어떤 대합에 의하여 정의되는 동차 공간이다.

정의

대칭 공간 ${\displaystyle G/H}$는 다음 조건을 만족시키는 동차 공간이다.

${\displaystyle H}$는 어떤 대합 ${\displaystyle \sigma \colon G\to G}$에 대하여, ${\displaystyle G^{\sigma }}$의 열린집합이다.

여기서

${\displaystyle G^{\sigma }=\{g\in G\colon \sigma g=g\}}$

는 ${\displaystyle \sigma }$에 의한 고정점들의 부분 공간이다.

대칭 공간의 계수(階數, 영어: rank)는 접공간의 부분 벡터 공간 가운데, 곡률이 0인 것의 최대 차원이다. 대칭 공간 가운데 에르미트 다양체인 것들은 항상 자동적으로 켈러 다양체를 이루며, 이를 에르미트 대칭 공간(Hermite對稱空間, 영어: Hermitian symmetric space)이라고 한다.

${\displaystyle G}$의 리 대수가 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$라고 하자. 대합

${\displaystyle \sigma \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

는 ${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$이므로 고윳값 ${\displaystyle \pm 1}$을 갖는다. 이에 따라, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 두 부분 공간의 직합으로 나타내어지며, 고윳값이 ${\displaystyle +1}$인 부분 대수는 ${\displaystyle H}$의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$와 같다. 고윳값이 ${\displaystyle -1}$인 부분 대수는 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$이라고 적자.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}}$

성질

함의 관계

리 군 ${\displaystyle G}$의 닫힌 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$가 주어졌으며, 이들에 대응하는 리 대수가 각각 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$라고 하자. 또한, 항상

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+{\mathfrak {m}}}$

이 되는 실수 벡터 공간 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$를 찾을 수 있다. 이제, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$이 가질 수 있는 다음과 같은 일련의 조건들을 정의할 수 있으며, 이 조건들은 다음과 같은 동차 공간들을 정의한다.

공간	조건
동차 공간	(없음)
가약 동차 공간	${\displaystyle \operatorname {Ad} (H){\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {m}}}$
대칭 공간	${\displaystyle \operatorname {Ad} (H){\mathfrak {m}}\subseteq {\mathfrak {m}}}$, ${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subseteq {\mathfrak {h}}}$
리만 대칭 공간	대칭 공간이며, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ 위에 ${\displaystyle \operatorname {Ad} (H)}$-불변 내적이 존재

여기서, ${\displaystyle \operatorname {Ad} (H){\mathfrak {m}}\subseteq {\mathfrak {m}}}$인 조건은

${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subseteq {\mathfrak {m}}}$

을 함의한다. (만약 ${\displaystyle H}$의 중심이 자명하다면 이는 리 대수 조건과 동치이다.)

리만 대칭 공간의 경우, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$은 ${\displaystyle G/H}$의 접공간과 동형이므로, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ 위의 내적은 ${\displaystyle G/H}$ 위의 리만 계량을 정의한다.

분류

콤팩트 대칭 공간은 엘리 카르탕에 의하여 모두 분류되었다.^[1][2]

모든 연결 단일 연결 콤팩트 대칭 공간은 아래 군들의 직접곱이다. 아래 목록에서, 켈러 다양체가 되는 것은 특별히 표시하였다.

이름	G	H	차원	계수	켈러 다양체
AI	${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$	${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$	${\displaystyle (n-1)(n+2)/2}$	${\displaystyle n-1}$
AII	${\displaystyle \operatorname {SU} (2n)}$	${\displaystyle \operatorname {USp} (2n)}$	${\displaystyle (n-1)(2n+1)}$	${\displaystyle n-1}$
AIII	${\displaystyle \operatorname {SU} (p+q)}$	${\displaystyle \operatorname {S} (\operatorname {U} (p)\times \operatorname {U} (q))}$	${\displaystyle 2pq}$	${\displaystyle \min\{p,q\}}$	켈러 다양체
BDI	${\displaystyle \operatorname {SO} (p+q)}$	${\displaystyle \operatorname {SO} (p)\times \operatorname {SO} (q)}$	${\displaystyle pq}$	${\displaystyle \min\{p,q\}}$	${\displaystyle q=2}$인 경우는 켈러 다양체
DIII	${\displaystyle \operatorname {SO} (2n)}$	${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$	${\displaystyle n(n-1)}$	${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$	켈러 다양체
CI	${\displaystyle \operatorname {USp} (2n)}$	${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$	${\displaystyle n(n+1)}$	${\displaystyle n}$	켈러 다양체
CII	${\displaystyle \operatorname {USp} (2p+2q)}$	${\displaystyle \operatorname {USp} (2p)\times \operatorname {USp} (2q)}$	${\displaystyle 4pq}$	${\displaystyle \min\{p,q\}}$
EI	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle \operatorname {PUSp} (8)}$	42	6
EII	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle \operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (2)}$	40	4
EIII	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle \operatorname {SO} (10)\times \operatorname {U} (1)}$	32	2	켈러 다양체
EIV	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle F_{4}}$	26	2
EV	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle \operatorname {SU} (8)/\{\pm I\}}$	70	7
EVI	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle \operatorname {SO} (12)\times \operatorname {SU} (2)}$	64	4
EVII	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle E_{6}\cdot \operatorname {U} (1)}$	54	3	켈러 다양체
EVIII	${\displaystyle E_{8}}$	${\displaystyle \operatorname {PSpin} (16)}$	128	8
EIX	${\displaystyle E_{8}}$	${\displaystyle E_{7}\cdot \operatorname {SU} (2)}$	112	4
FI	${\displaystyle F_{4}}$	${\displaystyle \operatorname {USp} (6)\times \operatorname {SU} (2)}$	28	4
FII	${\displaystyle F_{4}}$	${\displaystyle \operatorname {Spin} (9)}$	16	1
G	${\displaystyle G_{2}}$	${\displaystyle \operatorname {SO} (4)}$	8	2

예

모든 콤팩트 반단순 리 군은 (킬링 형식에 비례하는 리만 계량을 부여하면) 자명하게 대칭 공간이다. 비콤팩트 반단순 리 군의 경우, 마찬가지로 준리만 다양체로 간주할 경우 대칭 공간을 이룬다.

초구와 유클리드 공간과 쌍곡 공간은 모두 대칭 공간이다. 초구의 경우, 이는

${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=\operatorname {SO} (n+1)/\operatorname {SO} (n)}$

이며, 이는 BD_I의 특별한 경우이다. 유클리드 공간은

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\operatorname {ISO} (n)/\operatorname {SO} (n)}$

의 꼴로 얻어지며, 쌍곡 공간은

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=\operatorname {SO} (n,1)/\operatorname {SO} (n)}$

의 꼴로 얻어진다.

더 시터르 공간과 반 더 시터르 공간은 준리만 대칭 공간이다.

같이 보기

• 사타케 도표