데카르트 부호 법칙

수학에서, 데카르트 부호 법칙(Descartes符號法則, 영어: Descartes’ rule of signs)은 실수 계수 다항식의 양의 실수 근의 수가 내림차순 (또는 오름차순)으로 나열된 0이 아닌 계수의 부호가 변화하는 횟수를 넘지 않는다는 정리이다.

정의

0이 아닌 실수 계수 다항식

${\displaystyle p(x)=a_{0}x^{d_{0}}+a_{1}x^{d_{1}}+\cdots +a_{n}x^{d_{n}}\in \mathbb {R} [x]}$

${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle a_{i}\neq 0}$

${\displaystyle d_{i}\in \{0,1,2,\dots \}}$

${\displaystyle d_{0}<d_{1}<\cdots <d_{n}}$

${\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}}$

에 대하여, ${\displaystyle v(p)}$가

${\displaystyle a_{i}a_{i+1}<0}$

인 ${\displaystyle i\in \{0,1,\dots ,n-1\}}$의 수라고 하자.

데카르트 부호 법칙에 따르면, 임의의 0이 아닌 실수 계수 다항식 ${\displaystyle 0\neq p(x)\in \mathbb {R} [x]}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle p}$의 (중복도를 감안한) 양의 실수 근은 ${\displaystyle v(p)}$개이거나 그보다 적다. 또한, ${\displaystyle v(p)}$에서 (중복도를 감안한) 양의 실수 근의 수를 뺀 차는 (음이 아닌) 짝수이다.
• ${\displaystyle p}$의 (중복도를 감안한) 음의 실수 근은 ${\displaystyle v(p(-x))}$개이거나 그보다 적다. 또한, ${\displaystyle v(p(-x))}$에서 (중복도를 감안한) 음의 실수 근의 수를 뺀 차는 (음이 아닌) 짝수이다.

증명:^[1]

0이 아닌 실수 계수 다항식 ${\displaystyle p\in \mathbb {R} [x]}$에 대하여, ${\displaystyle z(p)}$가 ${\displaystyle p}$의 양의 실수 근의 수라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle p}$의 음의 실수 근의 수는 ${\displaystyle z(p(-x))}$이다. 따라서 첫 번째 명제를 증명하면 충분하다. ${\displaystyle p(x)/x^{d_{0}}}$의 양의 실수 근의 수와 0이 아닌 계수의 부호가 변화하는 횟수는 모두 ${\displaystyle p}$와 일치한다. 따라서 이 증명에서 ${\displaystyle d_{0}=0}$이라고 가정하여도 무방하다.

${\displaystyle p}$의 양의 실수 근은 ${\displaystyle p}$의 그래프와 양의 x축의 교점이다. ${\displaystyle p}$의 그래프는 중복도가 홀수인 근에서 x축을 가로지르며, 중복도가 짝수인 근에서는 가로지르지 않는다. 따라서, 만약 ${\displaystyle p}$의 그래프가 양의 x축을 홀수 번 가로지른다면, ${\displaystyle z(p)}$는 홀수이며, 만약 짝수 번 가로지른다면 ${\displaystyle z(p)}$는 짝수이다. 이에 따라, 만약 ${\displaystyle a_{0}a_{n}<0}$이라면,

${\displaystyle p(0)<0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }p(x)=\infty }$

이거나

${\displaystyle p(0)>0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }p(x)=-\infty }$

이므로, ${\displaystyle p}$의 그래프는 양의 x축을 홀수 번 가로지르며, 따라서 ${\displaystyle z(p)}$는 홀수이다. 마찬가지로, 만약 ${\displaystyle a_{0}a_{n}>0}$이라면, ${\displaystyle p}$의 그래프는 양의 x축을 짝수 번 가로지르므로, ${\displaystyle z(p)}$는 짝수이다.

만약 ${\displaystyle p}$가 서로 다른 ${\displaystyle k}$개의 양의 실수 근

${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k}}$

을 가지며, 각 ${\displaystyle i}$번째 양의 실수 근 ${\displaystyle x_{i}}$의 중복도가 ${\displaystyle m_{i}}$라면, ${\displaystyle x_{i}}$의 미분 ${\displaystyle p'}$의 근으로서의 중복도는 최소 ${\displaystyle m_{i}-1}$이다. 또한, 롤의 정리에 따라 각 ${\displaystyle k-1}$개의 구간 ${\displaystyle (x_{i},x_{i+1})}$ 속에도 ${\displaystyle p'}$의 근이 최소 하나씩 존재한다. 따라서 다음이 성립한다.

${\displaystyle z(p')\geq (m_{1}-1)+(m_{2}-1)+\cdots +(m_{k}-1)+(k-1)=m_{1}+\cdots +m_{k}-1=z(p)-1}$

이제, ${\displaystyle n}$에 대하여 수학적 귀납법을 사용하자. 만약 ${\displaystyle n=0}$이라면,

${\displaystyle z(p)=v(p)=0}$

이므로 자명하게 성립한다.

이제, ${\displaystyle n-1}$에 대하여 정리가 성립한다고 가정하고 ${\displaystyle n}$에 대하여 성립함을 증명하자. 만약 ${\displaystyle a_{0}a_{1}<0}$이라면,

${\displaystyle v(p')=v(p)-1}$

${\displaystyle z(p')\equiv z(p)-1{\pmod {2}}}$

이며, 수학적 귀납법의 가정에 따라

${\displaystyle z(p')\leq v(p')}$

${\displaystyle z(p')\equiv v(p'){\pmod {2}}}$

이다. 따라서

${\displaystyle z(p)\leq z(p')+1\leq v(p')+1\leq v(p)}$

${\displaystyle z(p)\equiv z(p')+1\equiv v(p')+1=v(p){\pmod {2}}}$

이다.

만약 ${\displaystyle a_{0}a_{1}>0}$이라면,

${\displaystyle v(p')=v(p)}$

${\displaystyle z(p')\equiv z(p){\pmod {2}}}$

이며, 수학적 귀납법의 가정에 따라

${\displaystyle z(p')\leq v(p')}$

${\displaystyle z(p')\equiv v(p'){\pmod {2}}}$

이므로,

${\displaystyle z(p)\leq z(p')+1\leq v(p')+1=v(p)+1}$

${\displaystyle z(p)\equiv z(p')\equiv v(p')=v(p){\pmod {2}}}$

이다. 위 합동식에 따라 ${\displaystyle z(p)\neq v(p)+1}$이므로 결국 ${\displaystyle z(p)\leq v(p)}$이다.

예

다항식

${\displaystyle p(x)=ax^{5}+bx+c\in \mathbb {R} [x]}$

${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle a\neq 0}$

을 생각하자. 0이 아닌 항이 최대 3개이므로, 부호는 최대 2번 변화할 수 있다. 데카르트 부호 법칙에 따라 이 다항식은 (중복도를 감안하였을 때) 2개의 양의 실수 근을 갖거나, 양의 실수 근을 갖지 않는다. 음의 실수 근 역시 마찬가지다. 중간값 정리에 따라 1개 이상의 실수 근을 갖는다. 만약 ${\displaystyle c\neq 0}$일 경우, 0은 근이 아니므로 이 실수 근은 양의 실수이거나 음의 실수이며, 따라서 실수 근의 수는 2 또는 4이다. 대수학의 기본 정리에 따라 이 다항식은 5개의 복소수 근을 가지므로, 허수 근의 수는 3 또는 1이다.

등호가 성립하지 않는 경우

다항식

${\displaystyle p(x)=x^{6}-x^{4}+x^{2}-3x+5\in \mathbb {R} [x]}$

을 생각하자. 계수의 부호가 총 4번 변화하므로, 데카르트 부호 법칙에 따라 이 다항식의 (중복도를 감안한) 양의 실수 근의 수는 0 또는 2 또는 4이다. 또한,

${\displaystyle p(-x)=x^{6}-x^{4}+x^{2}+3x+5}$

의 계수의 부호는 2번 변화하므로, (중복도를 감안한) 음의 실수 근의 수는 0 또는 2이다. 하지만 사실 이 다항식은 실수 근을 갖지 않는다.

등호가 성립하는 경우

다른 한편, 임의의

${\displaystyle n,d_{0},d_{1},\dots ,d_{n}\in \{0,1,2,\dots \}}$

${\displaystyle d_{0}<d_{1}<\dots <d_{n}}$

에 대하여,

${\displaystyle z(p)=v(p)}$

${\displaystyle z(p(-x))=v(p(-x))}$

인 다항식

${\displaystyle p(x)=a_{0}x^{d_{0}}+a_{1}x^{d_{1}}+\cdots +a_{n}x^{d_{n}}\in \mathbb {R} [x]}$

${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle a_{i}\neq 0}$

을 구성할 수 있다.^[2]

예를 들어,

${\displaystyle p(x)=x^{2}-2x+1}$

라고 할 때

${\displaystyle z(p)=v(p)=2}$

${\displaystyle z(p(-x))=v(p(-x))=0}$

이다.

역사

1637년에 르네 데카르트가 증명 없이 기술하였다. 1728년에 야노시 언드라시 셰그네르(헝가리어: János András Segner)가 처음 증명하였으며, 이후 1756년에 다른 방법으로 재증명하였다.^[3]