중간값 정리

해석학에서 중간값 정리^[1](中間-定理, 영어: intermediate value theorem) 또는 사잇값 정리^[2]:78는 구간에 정의된 실숫값 연속 함수가 임의의 두 함숫값 사이의 모든 수를 함숫값으로 포함한다는 정리이다. 이에 따라, 실숫값 연속 함수에 대한 구간의 상은 구간이다.

중간값 정리

정의

연속 함수 ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$가 주어졌다고 하자. 중간값 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle f([a,b])\supseteq [f(a),f(b)]\cup [f(b),f(a)]}$

즉, 임의의 ${\displaystyle u\in (f(a),f(b))\cup (f(b),f(a))}$에 대하여, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle c\in (a,b)}$가 존재한다.^[3]

${\displaystyle f(c)=u}$

증명

편의상 ${\displaystyle f(a)<f(b)}$라고 가정하자. 임의의 ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.

${\displaystyle E=\{x\in [a,b]\colon f(x)<u\}}$

그렇다면, ${\displaystyle a\in E}$이며, ${\displaystyle b}$는 ${\displaystyle E}$의 한 상계이다. 따라서, ${\displaystyle E}$는 유한한 상한

${\displaystyle c=\sup E\in \mathbb {R} }$

를 갖는다. ${\displaystyle f}$가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle \delta >0}$이 존재한다.

${\displaystyle f(x)<u\qquad \forall a\leq x<a+\delta }$

${\displaystyle f(x)>u\qquad \forall b-\delta <x\leq b}$

따라서 ${\displaystyle a<c<b}$이다. 이제 귀류법을 사용하여 ${\displaystyle f(c)=u}$를 보이자. 먼저 ${\displaystyle f(c)>u}$라고 가정하자. 그렇다면, ${\displaystyle f}$가 연속 함수이므로 다음을 만족시키는 ${\displaystyle \eta >0}$이 존재한다.

${\displaystyle f(x)>u\qquad \forall c-\eta <x<c+\eta }$

즉, ${\displaystyle c-\eta }$는 ${\displaystyle E}$의 또 다른 상계이며, 이는 ${\displaystyle c-\eta <c}$와 모순이다. 이제 ${\displaystyle f(c)<u}$를 가정하자. 그렇다면, ${\displaystyle f}$가 연속 함수이므로 다음을 만족시키는 ${\displaystyle \eta >0}$이 존재한다.

${\displaystyle f(x)<u\qquad \forall c-\eta <x<c+\eta }$

즉, ${\displaystyle c+\eta /2\in E}$이며, 이는 ${\displaystyle c=\sup E}$와 모순이다. 따라서 ${\displaystyle f(c)=u}$이다.

따름정리

볼차노 정리

연속 함수 ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$가 다음을 만족시킨다고 하자.

${\displaystyle f(a)f(b)<0}$

볼차노 정리(영어: Bolzano's theorem)에 따르면, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle (a,b)}$에서 영점을 갖는다. 즉, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle c\in (a,b)}$가 존재한다.

${\displaystyle f(c)=0}$

볼차노 정리는 중간값 정리에서 ${\displaystyle u=0}$인 특수한 경우이다.

구간의 보존

구간 ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ 및 연속 함수 ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle I}$의 상 ${\displaystyle f(I)}$은 역시 구간이다. 이를 연결 공간의 개념을 사용하지 않고 증명하려면, ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$가 구간일 필요충분조건이 임의의 ${\displaystyle a,b\in I}$에 대하여 ${\displaystyle (a,b)\subseteq I}$인 것이라는 보조정리를 사용해야 한다.

특히, 만약 ${\displaystyle I=[a,b]}$가 닫힌구간일 경우, ${\displaystyle f(I)}$의 양 끝점은 ${\displaystyle f}$의 최댓값과 최솟값이다. 즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle f([a,b])=\left[\min _{x\in [a,b]}f(x),\max _{x\in [a,b]}f(x)\right]}$

이 정리는 중간값 정리와 최대 최소 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

홀수차 실수 다항식의 근의 존재

임의의 실수 홀수차 다항식은 적어도 하나의 실수 영점을 갖는다. 이는 대수학의 기본 정리의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

홀수차 실수 다항식

${\displaystyle p(x)=a_{2n+1}x^{2n+1}+a_{2n}x^{2n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\in \mathbb {R} [x]\qquad (a_{0},\dots ,a_{2n+1}\in \mathbb {R} ,\;a_{2n+1}\neq 0)}$

이 주어졌다고 하자. 편의상 ${\displaystyle a_{2n+1}>0}$이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }p(x)=-\infty ,\;\lim _{x\to \infty }p(x)=\infty }$

예를 들어, 전자의 경우 다음과 같이 보일 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to -\infty }p(x)&=\lim _{x\to -\infty }a_{2n+1}x^{2n+1}\left(1+{\frac {a_{2n}}{a_{2n+1}}}x^{-1}+\cdots +{\frac {a_{0}}{a_{2n+1}}}x^{-(2n+1)}\right)\\&=-\infty \end{aligned}}}$

이에 따라, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle c<0<d}$가 존재한다.

${\displaystyle p(c)<0<p(d)}$

중간값 정리를 ${\displaystyle p|_{[c,d]}}$에 적용하면, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle p}$의 영점 ${\displaystyle e\in (c,d)}$의 존재를 얻는다.

닫힌구간 위의 브라우어르 고정점 정리

연속 함수 ${\displaystyle f\colon [a,b]\to [a,b]}$는 항상 고정점을 갖는다. 즉, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle c\in [a,b]}$가 존재한다.

${\displaystyle f(c)=c}$

이는 브라우어르 고정점 정리의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

다음과 같은 함수 ${\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$를 정의하자.

${\displaystyle g(x)=f(x)-x\qquad \forall x\in [a,b]}$

그렇다면, ${\displaystyle g}$는 연속 함수이며, ${\displaystyle g(b)\leq 0\leq g(a)}$이므로, 중간값 정리에 따라 다음을 만족시키는 ${\displaystyle c\in [a,b]}$가 존재한다.

${\displaystyle g(c)=0}$

즉, ${\displaystyle f(c)=c}$가 성립한다.

가역 연속 함수의 단조성

구간 ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ 및 단사 연속 함수 ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle f}$는 순단조 함수이다. 이는 중간값 정리를 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

귀류법을 사용하여, ${\displaystyle f}$가 순단조 함수가 아니라고 가정하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle a,b,c\in I}$가 존재한다.

• ${\displaystyle a<b<c}$
• ${\displaystyle f(a)<f(b)>f(c)}$ 또는 ${\displaystyle f(a)>f(b)<f(c)}$

편의상 전자가 성립한다고 가정하자. 그렇다면, ${\displaystyle \max\{f(a),f(c)\}<u<f(b)}$를 취할 수 있다. 각각 ${\displaystyle f|_{[a,b]}}$와 ${\displaystyle f|_{[b,c]}}$에 중간값 정리를 적용하면 다음을 만족시키는 ${\displaystyle d\in (a,b)}$ 및 ${\displaystyle e\in (b,c)}$가 존재함을 얻는다.

${\displaystyle f(d)=f(e)=u}$

이는 ${\displaystyle f}$가 단사 함수인 것과 모순이다.

일반화

위상수학과 해석학의 몇몇 정리들은 중간값 정리를 특수한 경우로 포함한다.

연결 공간의 보존

 연속 함수 및 연결 공간 문서를 참고하십시오.

두 위상 공간 ${\displaystyle X,Y}$ 사이의 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle X}$가 연결 공간이라면, ${\displaystyle f(X)}$ 역시 연결 공간이다. 실수 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위에서 연결 공간은 구간과 동치이므로, 이와 같은 정리는 중간값 정리의 한 가지 일반화이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$와 (순서 위상을 부여한) 전순서 집합 ${\displaystyle (Y,\leq )}$ 사이의 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle X}$가 연결 공간이라면, 임의의 ${\displaystyle a,b\in X}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle f(X)\supseteq [f(a),f(b)]\cup [f(b),f(a)]}$

실수 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$은 표준적인 전순서를 갖추므로, 이 정리 역시 중간값 정리를 일반화한다.

다르부 정리

 이 부분의 본문은 다르부 함수입니다.

미분 가능 함수 ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle f'([a,b])\supseteq [f'(a),f'(b)]\cup [f'(b),f'(a)]}$

이를 다르부 정리라고 한다. 실수 연속 함수는 항상 어떤 함수의 도함수이므로, 다르부 정리는 중간값 정리의 일반화이다.