아벨 범주
위의 사슬 복합체의 범주
역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 이중 사슬 복합체라고 한다.
구체적으로, 이중 사슬 복합체
는 다음과 같은 꼴이다.

즉, 이는 수평 경계 사상(水平境界寫像, 영어: horizontal boundary map)

및 수직 경계 사상(垂直境界寫像, 영어: vertical boundary map)

을 가지며, 이들은 다음과 같은 관계를 만족시킨다.



전체 사슬 복합체
에서 가산 무한 직합이 존재한다고 할 때 (또는 정의에 등장하는 직합에서 오직 유한 개의 항들이 0이 아니라고 할 때),
이중 사슬 복합체
의 전체 사슬 복합체(全體사슬複合體, 영어: total chain complex)
는 다음과 같은 사슬 복합체이다.


이는 사슬 복합체를 이루므로, 마찬가지로 호몰로지를 취할 수 있다. 이를 전체 호몰로지(영어: total homology)라고 한다.
이중 사슬 복합체의 다른 부호 규칙
문헌에 따라서, 이중 사슬 복합체를 표기할 때 위와 다른 부호 규칙을 사용하는 경우가 있다. 이 부호 규칙으로 전환하려면, 다음과 같은 변환을 가하자.


즉, 홀수 번째 열들의 수직 경계 사상에 음부호를 붙인다. (물론, 대신 홀수 번째 행들의 수평 경계 사상에 음부호를 붙여도 비슷하다.)
그렇다면, 이들은 다음을 만족시킨다.



즉, 수평 경계 사상과 수직 경계 사상이 서로 교환 법칙 대신 반교환 법칙을 따르게 된다.
이렇게 하면, 전체 사슬 복합체의 정의가 다음과 같이 더 간단해진다.

수직 · 수평 호몰로지
아벨 범주
위의 이중 사슬 복합체
가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 수평 호몰로지(垂直homology, 영어: horizontal homology)

및 수직 호몰로지(水平homology, 영어: vertical homology)

를 정의할 수 있다.
교내 사상과 교외 사상
임의의 대상
에 대하여, 다음 사상들이 존재한다.

위 그림에서,
는 수직 경계 사상과 수평 경계 사상을 합성한 것이다. 편의상, 다음과 같은 기호들을 정의하자.[2]:Definition 1.1
자세한 정보
,
...
용어 | 기호 | 정의 |
수평 호몰로지 |  |  |
수직 호몰로지 |  |  |
기증자(寄贈者, 영어: donor) |
 |  |
수령자(受領者, 영어: receptor) |  |  |
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이들의 기호를 위와 같이 이상하게 정의하는 이유는 다음 때문이다. 우선,
·
·
·
는 모두
의 부분 대상들의 몫 대상이므로, 이들 사이에는 다음과 같은 사상들이 존재한다.

이는 다음과 같이 적을 수 있다.

이 사상들을 교내 사상(校內寫像, 영어: intramural map)이라고 하자.[2]:Definition 1.3
또한, 수평 경계 사상

이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.

이는 다음과 같이 그릴 수 있다.

마찬가지로, 수직 경계 사상

이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.

이는 다음과 같이 그릴 수 있다.

이 사상들을 교외 사상(校外寫像, 영어: extramural map)이라고 하자.[2]:Definition 1.5