쌍가군

환론에서 쌍가군(雙加群, 영어: bimodule 바이모듈^[*])은 왼쪽 가군과 오른쪽 가군의 구조를 동시에 가지며, 두 구조가 서로 결합 법칙을 만족시키는 대수 구조이다.

정의

환 ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle S}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle (R,S)}$-쌍가군(영어: ${\displaystyle (R,S)}$-bimodule) ${\displaystyle _{R}M_{S}}$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 아벨 군 ${\displaystyle (M,+)}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군 구조 ${\displaystyle _{R}M}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle S}$-오른쪽 가군 구조 ${\displaystyle M_{S}}$

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.

• 모든 ${\displaystyle r\in R}$, ${\displaystyle s\in S}$, ${\displaystyle m\in M}$에 대하여, ${\displaystyle (rm)s=r(ms)}$

보다 일반적으로, 가환환 ${\displaystyle K}$와 ${\displaystyle K}$-단위 결합 대수 ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle S}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle (K;R,S)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 아벨 군 ${\displaystyle (M,+)}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군 구조 ${\displaystyle _{R}M}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle S}$-오른쪽 가군 구조 ${\displaystyle M_{S}}$

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.

• 모든 ${\displaystyle r\in R}$, ${\displaystyle s\in S}$, ${\displaystyle m\in M}$에 대하여, ${\displaystyle (rm)s=r(ms)}$
• 모든 ${\displaystyle k\in K}$에 대하여, ${\displaystyle km=mk}$

${\displaystyle (R,S)}$-쌍가군은 ${\displaystyle K=\mathbb {Z} }$일 때 ${\displaystyle (\mathbb {Z} ;R,S)}$-쌍가군의 개념과 같다.

두 ${\displaystyle (K;R,S)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$, ${\displaystyle _{R}N_{S}}$ 사이의 쌍가군 준동형(영어: bimodule homomorphism) ${\displaystyle \phi \colon M\to N}$은 다음 조건들을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.

• ${\displaystyle \phi }$는 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, ${\displaystyle r\phi (m)=\phi (rm)\;\forall r\in R,\;m\in M}$이다.
• ${\displaystyle \phi }$는 ${\displaystyle S}$-오른쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, ${\displaystyle \phi (m)s=\phi (ms)\;\forall s\in S,\;m\in M}$이다.

성질

가군과의 관계

다음 네 개념들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle (K;R,S)}$-쌍가군
• ${\displaystyle (K;S^{\operatorname {op} },R^{\operatorname {op} })}$-쌍가군
• ${\displaystyle R\otimes _{K}S^{\operatorname {op} }}$-왼쪽 가군
• ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }\otimes _{K}S}$-오른쪽 가군

(여기서 ${\displaystyle (-)^{\operatorname {op} }}$는 반대환을 뜻한다.)

다음 세 개념들이 서로 동치이다.

• 아벨 군
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-가군
• ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}$-쌍가군

환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군
• ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$-오른쪽 가군
• ${\displaystyle (R,\mathbb {Z} )}$-쌍가군
• ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,R^{\operatorname {op} })}$-쌍가군

환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle R}$-오른쪽 가군
• ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$-왼쪽 가군
• ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,R)}$-쌍가군
• ${\displaystyle (R^{\operatorname {op} },\mathbb {Z} )}$-쌍가군

가환환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle R}$-가군
• ${\displaystyle (R;R,R)}$-쌍가군
• ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,R)}$-쌍가군
• ${\displaystyle (R,\mathbb {Z} )}$-쌍가군

또한, 위 개념들에 대한 준동형들 또한 서로 동치이다. 예를 들어, ${\displaystyle (K;R,S)}$-쌍가군 준동형은 ${\displaystyle R\otimes _{K}S^{\operatorname {op} }}$-왼쪽 가군의 가군 준동형과 같은 개념이다.

즉, 쌍가군의 개념은 가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있으며, 반대로 가군의 개념을 쌍가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있다.

가환환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 모든 ${\displaystyle R}$-가군 (즉, ${\displaystyle (R;R,R)}$-쌍가군)은 망각을 통하여 ${\displaystyle (\mathbb {Z} ;R,R)}$-쌍가군을 이루지만, 일반적으로 ${\displaystyle (R;R,R)}$-쌍가군이 아닌 ${\displaystyle (\mathbb {Z} ;R,R)}$-쌍가군이 존재한다.

텐서곱 가군과 준동형 가군

${\displaystyle (R,S)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$ 및 ${\displaystyle (S,T)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{S}N_{T}}$이 주어졌을 때, 텐서곱

${\displaystyle _{R}M\otimes _{S}N_{T}}$

은 자연스럽게 ${\displaystyle (R,T)}$-쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

${\displaystyle (_{R}M\otimes _{S}-)\colon {}_{S}\operatorname {Mod} _{T}\to {}_{R}\operatorname {Mod} _{T}}$

${\displaystyle (-\otimes _{S}N_{T})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} _{S}\to {}_{R}\operatorname {Mod} _{T}}$

를 정의한다.

또한, ${\displaystyle (R,S)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$ 및 ${\displaystyle (R,T)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{R}N_{T}}$가 주어졌을 때, 왼쪽 가군 준동형군

${\displaystyle \hom _{_{R}\operatorname {Mod} }(_{R}M_{S},{}_{R}N_{T})}$

은

${\displaystyle (sft)(m)=\left(f(ms)\right)t\qquad \forall s\in S,\;t\in T,\;m\in M,\;f\in \hom _{_{R}\operatorname {Mod} }(_{R}M_{S},{}_{R}N_{T})}$

를 통해 ${\displaystyle (S,T)}$-쌍가군을 이룬다.^[1]:94 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

${\displaystyle \hom _{R}(_{R}M_{S},-)\colon {}_{R}\operatorname {Mod} _{T}\to {}_{S}\operatorname {Mod} _{T}}$

${\displaystyle \hom _{R}(-,{}_{R}N_{T})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} _{S}\to {}_{S}\operatorname {Mod} _{T}^{\operatorname {op} }}$

를 정의한다. 반대로, 오른쪽 가군 준동형을 사용한다면 ${\displaystyle (R,S)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$ 및 ${\displaystyle (T,S)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{T}N_{S}}$가 주어졌을 때, 준동형군

${\displaystyle \hom _{\operatorname {Mod} _{S}}(_{R}M_{S},{}_{T}N_{S})}$

은

${\displaystyle (tfr)(m)=t\left(f(rm)\right)\qquad \forall r\in R,\;t\in T,\;m\in M,\;f\in \hom _{\operatorname {Mod} _{S}}(_{R}M_{S},{}_{T}N_{S})}$

를 통해 ${\displaystyle (T,R)}$쌍가군을 이루며, 쌍가군 범주의 가법 함자

${\displaystyle \hom _{S}(_{R}M_{S},-)\colon {}_{T}\operatorname {Mod} _{S}\to {}_{T}\operatorname {Mod} _{R}}$

${\displaystyle \hom _{S}(-,{}_{T}N_{S})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} _{S}\to {}_{T}\operatorname {Mod} _{R}^{\operatorname {op} }}$

를 정의한다.

이는 다음과 같이 수반 함자를 이룬다.

${\displaystyle (_{R}M\otimes _{S}-)\dashv \hom _{R}(_{R}M_{S},-)}$

${\displaystyle (-\otimes _{R}M_{S})\dashv \hom _{S}(_{R}M_{S},-)}$

특히, ${\displaystyle T=\mathbb {Z} }$ 또는 ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ 또는 ${\displaystyle S=\mathbb {Z} }$를 놓으면 각종 가군 범주 위의 다음과 같은 가법 함자들을 얻는다.

${\displaystyle (_{R}M\otimes _{S}-)\colon {}_{S}\operatorname {Mod} \to {}_{R}\operatorname {Mod} }$

${\displaystyle (-\otimes _{R}M_{S})\colon \operatorname {Mod} _{R}\to \operatorname {Mod} _{S}}$

${\displaystyle \hom _{R}(_{R}M_{S},-)\colon {}_{R}\operatorname {Mod} \to {}_{S}\operatorname {Mod} }$

${\displaystyle \hom _{R}(-,{}_{R}M_{S})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} \to \operatorname {Mod} _{S}^{\operatorname {op} }}$

${\displaystyle \hom _{S}(_{R}M_{S},-)\colon \operatorname {Mod} _{S}\to \operatorname {Mod} _{R}}$

${\displaystyle \hom _{S}(-,{}_{R}M_{S})\colon \operatorname {Mod} _{S}\to {}_{R}\operatorname {Mod} ^{\operatorname {op} }}$

${\displaystyle (_{R}M\otimes _{S})\dashv \hom _{R}(_{R}M_{S},-)}$

${\displaystyle (-\otimes _{R}M_{S})\dashv \hom _{S}(_{R}M_{S},-)}$

쌍가군의 이차 범주

임의의 가환환 ${\displaystyle K}$와 ${\displaystyle K}$-단위 결합 대수 ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S}$에 대하여, ${\displaystyle (K;R,S)}$-쌍가군을 대상으로 하고, ${\displaystyle (K;R,S)}$-쌍가군 준동형을 사상으로 하는 범주 ${\displaystyle _{R}K{\text{-uAssocAlg}}_{S}}$가 존재한다. ${\displaystyle K=\mathbb {Z} }$인 경우 이는 단순히 ${\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} _{S}}$로 표기한다.

보다 일반적으로, 가환환 ${\displaystyle K}$에 대하여 다음과 같은 이차 범주 ${\displaystyle \operatorname {Bimod} _{K}}$가 존재한다.

• ${\displaystyle \operatorname {Bimod} _{K}}$의 대상은 ${\displaystyle K}$-단위 결합 대수이다. (즉, ${\displaystyle K{\text{-uAssocAlg}}}$의 대상과 같다.)
• ${\displaystyle \operatorname {Bimod} _{K}}$에서, 단위 결합 대수 ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S}$ 사이의 1-사상은 ${\displaystyle (K;R,S)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$이다. ${\displaystyle _{R}M_{S}}$의 정의역은 ${\displaystyle R}$, 공역은 ${\displaystyle S}$이다.
  • 두 쌍가군 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$, ${\displaystyle _{S}N_{T}}$의 합성은 쌍가군의 텐서곱 ${\displaystyle _{R}M\otimes _{S}N_{T}}$이다.
  • 환 ${\displaystyle R}$ 위의 항등 사상은 ${\displaystyle _{R}R_{R}}$이다.
• 같은 정의역과 공역을 갖는 두 1-사상 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$, ${\displaystyle _{R}N_{S}}$ 사이의 2-사상은 ${\displaystyle (K;R,S)}$-쌍가군 준동형이다. 즉, 범주로서 ${\displaystyle \hom _{\operatorname {Bimod} }(R,S)={}_{R}K{\text{-uAssocAlg}}_{S}}$이다.

예

아이디얼

환 ${\displaystyle R}$의 왼쪽 아이디얼은 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군을 이루며, 오른쪽 아이디얼은 ${\displaystyle R}$-오른쪽 가군을 이룬다. ${\displaystyle R}$의 양쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R}$은 ${\displaystyle (R,R)}$-쌍가군을 이룬다.

특히, ${\displaystyle R}$ 전체는 ${\displaystyle R}$의 양쪽 아이디얼이며, 따라서 ${\displaystyle (R,R)}$-쌍가군을 이룬다.

보다 일반적으로, 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 단위 결합 대수 ${\displaystyle R}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle K}$-가군을 이루는 ${\displaystyle R}$-양쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R}$는 ${\displaystyle (K;R,R)}$-쌍가군을 이룬다. 특히, ${\displaystyle R}$ 전체는 ${\displaystyle (K;R,R)}$-쌍가군을 이룬다.

부분환

${\displaystyle (R,S)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$ 및 ${\displaystyle R}$의 부분환 ${\displaystyle {\tilde {R}}\subseteq R}$와 ${\displaystyle S}$의 부분환 ${\displaystyle {\tilde {S}}\subseteq S}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle M}$은 망각을 통해 자연스럽게 ${\displaystyle _{\tilde {R}}M_{\tilde {S}}}$-쌍가군을 이룬다.

특히, 환 ${\displaystyle R}$의 부분환 ${\displaystyle {\tilde {R}}\subseteq R}$가 주어졌을 때, 쌍가군 ${\displaystyle _{R}R_{R}}$에 망각을 가하여 쌍가군 ${\displaystyle _{\tilde {R}}R_{R}}$ 및 ${\displaystyle _{R}R_{\tilde {R}}}$ 및 ${\displaystyle _{\tilde {R}}R_{\tilde {R}}}$를 정의할 수 있다.

가군의 자기 사상

환 ${\displaystyle R}$ 위의 오른쪽 가군 ${\displaystyle M_{R}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$는 가법 범주이므로 ${\displaystyle M_{R}}$의 자기 사상 집합 ${\displaystyle \operatorname {End} _{\operatorname {Mod} _{R}}(M_{R})=\hom _{\operatorname {Mod} _{R}}(M_{R},M_{R})}$는 환을 이룬다. 이 자기 사상환은 ${\displaystyle M_{R}}$의 왼쪽에 자연스럽게 작용하며, 따라서 ${\displaystyle M_{R}}$는 ${\displaystyle (\operatorname {End} M,R)}$-쌍가군을 이룬다.

마찬가지로, ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$은 자연스럽게 ${\displaystyle \left(R,(\operatorname {End} M)^{\operatorname {op} }\right)}$-쌍가군을 이룬다.

이 구성은 모리타 동치의 정의에 등장한다.

행렬 쌍가군

환 ${\displaystyle R}$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬로 구성된 아벨 군 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)}$을 생각하자. 만약 ${\displaystyle m=n}$이라면 (즉, 정사각 행렬이라면) ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n,n;R)=\operatorname {Mat} (n;R)}$는 환을 이룬다.

행렬의 곱셈은 자연스러운 ${\displaystyle R}$-쌍선형 함수 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)\otimes _{R}\operatorname {Mat} (n,p;R)\to \operatorname {Mat} (m,p;R)}$ 를 이룬다. 이에 따라, ${\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)}$는 자연스럽게 ${\displaystyle (\operatorname {Mat} (m;R),\operatorname {Mat} (n;R))}$-쌍가군을 이룬다.

물론, ${\displaystyle R}$는 (대각 행렬로서) ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)}$의 부분환을 이룬다. 이에 따라, ${\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)}$는 ${\displaystyle (R,R)}$-쌍가군을 이룬다. 이 경우, ${\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)}$는 단순히 자유 가군 ${\displaystyle R^{mn\oplus }}$으로 생각할 수 있다.

응용

쌍가군에 대하여, 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지를 정의할 수 있다.

쌍가군의 개념은 모리타 동치 및 모리타 쌍대성을 정의할 때 쓰인다.