정규화 사슬 복합체

호몰로지 대수학에서 정규화 사슬 복합체(正規化사슬複合體, 영어: normalized chain complex)는 아벨 범주의 단체 대상에 대하여 정의되는 사슬 복합체이다. 이는 아벨 범주의 단체 대상의 범주와 자연수 등급 사슬 복합체의 범주 사이의 동치를 정의하며, 이 동치를 돌트-칸 대응(Dold–Kan對應, 영어: Dold–Kan correspondence)이라고 한다.^[1]

정의

무어 복합체

다음이 주어졌다고 하자.

• 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• 준단체 대상 ${\displaystyle M_{\bullet }\colon \triangle _{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}$

이제, 다음을 정의하자.

${\displaystyle \operatorname {C} _{n}(M)=M_{n}\qquad (n\in \mathbb {N} )}$

${\displaystyle \partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}(-)^{i}\partial _{n,i}M_{i}\qquad (n\in \mathbb {N} )}$

그렇다면, ${\displaystyle (\operatorname {C} _{\bullet }(M),\partial _{\bullet })}$은 사슬 복합체를 이루며, 이를 준단체 대상 ${\displaystyle M_{\bullet }}$의 무어 사슬 복합체(영어: Moore chain complex)라고 한다.^{[2]:45, Definition 1.6.2}

증명:

편의상 집합

${\displaystyle S=\{0,\dotsc ,n-1\}\times \{0,\dotsc ,n\}}$

및

${\displaystyle S_{+}=\{(i,j)\in S\colon i<j\}}$

${\displaystyle S_{-}=\{(i,j)\in S\colon i\geq j\}}$

을 정의하자. 이 사이에는 전단사 함수

${\displaystyle S_{+}\to S_{-}}$

${\displaystyle (j,i+1)\mapsto (i,j)}$

가 존재한다.

그렇다면, 단체 항등식을 사용하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{n-1}\circ \partial _{n}&=\sum _{(i,j)\in S}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}\\&=\sum _{(i,j)\in S_{+}}(-)^{i+j}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}+\sum _{(i,j)\in S_{-}}(-)^{i+j}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}\\&=\sum _{(i,j)\in S_{-}}\left((-)^{j+i-1}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}+(-)^{i+j}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}\right)=0\end{aligned}}}$

사슬 복합체에 대응하는 준단체 대상

다음이 주어졌다고 하자.

• 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 속의 자연수 등급 사슬 복합체

  ${\displaystyle \dotsb \to C_{2}{\xrightarrow {\partial _{2}}}C_{1}{\xrightarrow {\partial _{1}}}C_{0}\to 0}$

이제, ${\displaystyle C_{\bullet }}$에 다음과 같은 준단체 대상의 구조를 줄 수 있다.

${\displaystyle M(n)=C_{n}}$

${\displaystyle M(\partial _{n,i})\colon C_{n}\to C_{n-1}}$

${\displaystyle M(\partial _{n,i})={\begin{cases}0&0\leq i\leq n-1\\(-)^{n}\partial _{n}&i=n\end{cases}}}$

퇴화 복합체와 정규화 복합체

다음이 주어졌다고 하자.

• 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• 단체 대상 ${\displaystyle M_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}$

이제, 다음을 생각하자.

${\displaystyle f_{n}\colon \coprod _{i=0}^{n-1}s_{n,i}\colon M_{n-1}^{\oplus n}\to M_{n}}$

${\displaystyle g_{n}\colon \prod _{i=0}^{n-1}\partial _{n,i}\colon M_{n}\to M_{n+1}^{\oplus n}}$

(※ ${\displaystyle g_{n}}$에서, 합이 ${\displaystyle i=n}$을 포함하지 않는다.)

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {D} _{\bullet }(M)=\operatorname {im} f_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(M)=\ker g_{n}}$

그렇다면, ${\displaystyle (\operatorname {D} _{\bullet }(M),\partial _{\bullet })}$와 ${\displaystyle (\operatorname {N} _{\bullet }(M),\partial _{\bullet })}$ 둘 다 역시 사슬 복합체를 이룬다. ${\displaystyle \operatorname {D} _{\bullet }(M)}$을 퇴화 사슬 복합체(退化사슬複合體, 영어: degenerate chain complex)라고 하며, ${\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(M)}$을 정규화 사슬 복합체(正規化사슬複合體, 영어: normalized chain complex)라고 한다.

퇴화 사슬 복합체의 존재의 증명:

퇴화 사슬의 경계가 퇴화 사슬임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.

${\displaystyle \partial _{n+1}\circ s_{n,i}=\sum _{j=0}^{n}s_{n,j}\circ \phi _{i,j}}$

여기서 ${\displaystyle \phi _{i,j}}$는 임의의 사상이다.

그런데

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{n+1}\circ \circ s_{n,i}&=\sum _{j=0}^{n+1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}\\&=\sum _{j=0}^{i-1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}+\sum _{j=i}^{i+1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}+\sum _{j=i+1}^{n+1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}\\&=\sum _{j=0}^{i-1}(-)^{j}s_{n-1,i-1}\circ \partial _{n,j}+\sum _{j=i}^{i+1}(-)^{j}+\sum _{j=i+1}^{n+1}(-)^{j}s_{n-1,i}\circ \partial _{n,j-1}\\&=s_{n-1,i-1}\circ \left(\sum _{j=0}^{i-1}(-)^{j}\partial _{n,j}\right)-s_{n-1,i}\circ \left(\sum _{j=i}^{n}(-)^{j}\partial _{n,j}\right)\\\end{aligned}}}$

이다.

정규화 사슬 복합체의 존재의 증명:

${\displaystyle g_{n+1}}$의 핵의 경계가 ${\displaystyle g_{n}}$의 핵임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.

${\displaystyle \partial _{n,i}\circ \partial _{n+1}=\sum _{j=1}^{n}\phi _{i,j}\circ \partial _{n+1,j}\qquad (j<n)}$

여기서 ${\displaystyle \phi _{i,j}}$는 임의의 사상이다.

그런데

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1}&=\sum _{j=0}^{n+1}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,j}\\&=\left(\sum _{j=0}^{n}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,j}\right)+(-)^{n+1}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,n+1}\\&=\left(\sum _{j=0}^{n}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,j}\right)+(-)^{n+1}\partial _{n,n}\circ \partial _{n+1,i}\\\end{aligned}}}$

이다.

준단체 대상에 대응하는 단체 대상

우선, 다음 기호를 정의하자.

• ${\displaystyle \operatorname {Surj} (n,m)\subseteq \hom _{\triangle }(n,m)}$은 모든 전사 증가 함수 ${\displaystyle \{0,1,\dotsc ,n\}\twoheadrightarrow \{0,1,\dotsc ,m\}}$ (${\displaystyle 0\leq m\leq n}$)들의 집합이다.

아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 속의 준단체 대상

${\displaystyle C\colon \triangle _{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 위의 단체 대상을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \sigma (C_{n})=\bigoplus _{m=0}^{n}\bigoplus _{\operatorname {Surj} (n,m)}C_{m}}$

즉, 각 ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Surj} (n,m)}$에 대하여 포함 사상

${\displaystyle \beta _{\phi }\colon C_{m}\hookrightarrow \sigma (C_{n})}$

이 있다.

그 위의 단체 대상 구조는 다음과 같다. 단체 범주 ${\displaystyle \triangle }$ 속의 임의의 사상(증가 함수)은 전사 증가 함수와 단사 증가 함수의 합성으로 유일하게 표현된다.

임의의 단체 범주 사상

${\displaystyle f\in \hom _{\triangle }(m,n)}$

에 대하여,

${\displaystyle \sigma (f)\colon \sigma (C_{n})\to \sigma (C_{m})}$

은 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma (f)=\coprod _{\scriptstyle g\in \operatorname {Surj} (n,k) \atop \scriptstyle \iota \circ \phi =g\circ f}\beta _{\phi }\circ C(\iota )}$

여기서,

• ${\displaystyle \iota \circ \phi =g\circ f}$은 ${\displaystyle (\iota ,\phi )}$가 ${\displaystyle g\circ f\in \hom _{\triangle }(m,k)}$의, 단사 함수(${\displaystyle \iota \colon \{0,\dotsc ,n'\}\hookrightarrow \{0,\dotsc ,k\}}$)와 전사 함수(${\displaystyle \phi \colon \{0,\dotsc ,m\}\twoheadrightarrow \{0,\dotsc ,n'\}}$)로의 (유일한) 분해임을 뜻한다.
• ${\displaystyle C(\iota )\colon C_{k}\to C_{n'}}$은 함자 ${\displaystyle C\colon \triangle _{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}$ 아래의, ${\displaystyle \iota \in \hom _{\triangle _{\operatorname {pre} }}(n',k)}$의 상이다.

성질

짧은 완전열

아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 속의 단체 대상 ${\displaystyle M_{\bullet }}$에 대하여, 다음과 같은 사슬 복합체의 짧은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 0\to \operatorname {D} _{\bullet }(M)\to \operatorname {C} _{\bullet }(M)\to \operatorname {N} _{\bullet }(M)\to 0}$

즉,

${\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(M)\cong {\frac {\operatorname {C} _{\bullet }(M)}{\operatorname {D} _{\bullet }(M)}}}$

이다.

정규 사슬 복합체의 표준 분해

아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 속의 단체 대상 ${\displaystyle M_{\bullet }}$에 대하여, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.

${\displaystyle i_{n}\colon \bigoplus _{m=0}^{n}\bigoplus _{\operatorname {Surj} (n,m)}\operatorname {N} _{k}(M)\cong \operatorname {C} _{n}(M)}$

이 동형 사상은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle i_{n}=\coprod _{m=0}^{n}\coprod _{f\in \operatorname {Surj} (n,m)}M(f^{\operatorname {op} })}$

여기서

${\displaystyle M(f^{\operatorname {op} })\colon \operatorname {N} _{m}(M)\to M_{n}}$

은 함자 ${\displaystyle M\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}$ 아래 ${\displaystyle f^{\operatorname {op} }\in \hom _{\triangle ^{\operatorname {op} }}(m^{\operatorname {op} },n^{\operatorname {op} })}$의 상이다.

돌트-칸 대응

아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 위에서, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})\leftrightarrows \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})}$는 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 위의 단체 대상의 범주이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}$는 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 위의, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급의 사슬 복합체들의 범주이다.

이 동치를 정의하는 함자는 다음과 같다.

• ${\displaystyle \operatorname {N} \colon \operatorname {s} ({\mathcal {A}})\to \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}$는 단체 대상에 대응되는 정규화 사슬 복합체이다.
• ${\displaystyle \Gamma \colon \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})\to \operatorname {s} ({\mathcal {A}})}$는 자연수 등급 사슬 복합체에 대응되는 준단체 대상에 대응되는 단체 대상이다.

또한, 이 범주의 동치는 자연 동형으로부터 유도된다. 즉, 자연 동형

${\displaystyle \operatorname {N} \circ \operatorname {\Gamma } \Rightarrow 1_{\operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}}$

${\displaystyle \operatorname {\Gamma } \circ \operatorname {N} \Rightarrow 1_{\operatorname {s} ({\mathcal {A}})}}$

가 존재한다. 이에 따라, 이들은 두 가지 방향으로 수반 함자를 이룬다.

${\displaystyle \operatorname {N} \dashv \operatorname {\Gamma } }$

${\displaystyle \operatorname {\Gamma } \dashv \operatorname {N} }$

모형 구조

돌트-칸 대응을 사용하여, ${\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}$ 위의 모형 범주 구조를 ${\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})}$에 부여할 수 있다. 이에 따라, 돌트-칸 대응은 ${\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}$와 ${\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})}$ 사이의 퀼런 동치를 이룬다.

이 경우, ${\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})}$의 약한 동치는 단체 대상의 사상 가운데, (단체 집합으로서) 모든 차수의 단체 호모토피 군의 동형을 유도하는 것이다.

역사

돌트-칸 대응은 알브레히트 돌트^[3]와 다니얼 칸^[4]이 1958년에 독자적으로 발견하였다. (칸은 이 논문에서 칸 확대의 개념을 같이 도입하였다.) 돌트의 첫 논문은 가군의 범주에 국한되었으나, 이후 돌트와 디터 푸페는 곧 이를 임의의 아벨 범주에 대하여 일반화하였다.^[5]