수반 함자

범주론에서 수반 함자(隨伴函子, 영어: adjoint functor) 또는 딸림 함자(-函子)는 두 개의 함자가 서로 간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, 범주론의 연구 대상이다.

정의

쌍대단위원과 단위원을 통한 정의

두 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 사이의 두 함자

${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle F}$와 ${\displaystyle G}$ 사이의 수반(영어: adjunction) ${\displaystyle (\epsilon ,\eta )}$는 다음과 같은 두 개의 자연 변환의 순서쌍이다.

${\displaystyle \epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id} _{\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\Rightarrow GF}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {D}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$는 항등 함자이다. 이는 다음 조건을 만족시켜야만 한다.

${\displaystyle \operatorname {id} _{F}=\epsilon F\circ F\eta }$

${\displaystyle \operatorname {id} _{G}=G\epsilon \circ \eta G}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {id} _{F}\colon F\Rightarrow F}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {id} _{G}\colon G\Rightarrow G}$는 항등 자연 변환이다. 즉, 다음 두 그림이 가환하여야 한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}F&{\xrightarrow {F\eta }}&FGF\\&{\scriptstyle \operatorname {id} _{F}}\searrow &\downarrow \scriptstyle \epsilon F\\&&F\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}G&{\xrightarrow {\eta G}}&GFG\\&{\scriptstyle \operatorname {id} _{G}}\searrow &\downarrow \scriptstyle G\epsilon \\&&G\end{matrix}}}$

이 경우, ${\displaystyle F}$를 ${\displaystyle G}$의 왼쪽 수반 함자(-隨伴函子, 영어: left-adjoint functor)라고 하고, ${\displaystyle G}$를 ${\displaystyle F}$의 오른쪽 수반 함자(-隨伴函子, 영어: right-adjoint functor)라고 하며, ${\displaystyle \epsilon }$은 쌍대단위원(雙對單位元, 영어: counit), ${\displaystyle \eta }$는 단위원(單位元, 영어: unit)이라고 한다. 이는 기호로

${\displaystyle F\dashv G}$

또는

${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}\colon G}$

와 같이 쓴다.

보편 성질을 통한 정의

두 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 사이의 두 함자

${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$

사이의 수반은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 사상들로 이루어진 자연 변환

${\displaystyle \epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id} _{\mathcal {D}}}$

이다.

• 임의의 대상 ${\displaystyle Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {D}})}$ 및 ${\displaystyle X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$ 및 사상 ${\displaystyle f\colon F(X)\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle f=\epsilon _{Y}F(g)}$인 유일한 사상 ${\displaystyle g\colon X\to G(Y)}$가 존재한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}FG(Y)&\xrightarrow {\epsilon _{Y}} &Y\\{\scriptstyle G(\exists !g)}\uparrow &\nearrow {\scriptstyle f}\\F(X)\end{matrix}}}$

마찬가지로, 다음과 같이 정의할 수 있다. ${\displaystyle F}$와 ${\displaystyle G}$ 사이의 수반은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 사상들로 이루어진 자연 변환

${\displaystyle \eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\Rightarrow GF}$

이다.

• 임의의 대상 ${\displaystyle X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$ 및 ${\displaystyle Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {D}})}$ 및 사상 ${\displaystyle f\colon X\to G(Y)}$에 대하여, ${\displaystyle f=G(g)\circ \eta _{X}}$인 유일한 사상 ${\displaystyle g\colon F(X)\to Y}$이 존재한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}X&\xrightarrow {\eta _{X}} &GF(X)\\&{\scriptstyle \forall f}\searrow &\downarrow {\scriptstyle G(\exists !g)}\\&&G(Y)\end{matrix}}}$

이 두 정의는 쌍대단위원과 단위원을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, ${\displaystyle (\epsilon ,\eta )}$가 쌍대단위원과 단위원의 순서쌍을 이룬다면, ${\displaystyle \epsilon }$과 ${\displaystyle \eta }$를 이루는 사상들은 두 정의에서의 보편 성질을 각각 만족시킨다. 반대로, 자연 변환 ${\displaystyle \epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id} _{\mathcal {D}}}$을 이루는 사상들이 보편 성질을 만족시킨다면, 이를 쌍대단위원으로 삼는 단위원 ${\displaystyle \eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\Rightarrow GF}$을 찾을 수 있다. 마찬가지로, 보편 성질을 만족시키는 자연 변환 ${\displaystyle \eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\Rightarrow GF}$에 대하여, 이를 단위원으로 하는 쌍대단위원 ${\displaystyle \epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id} _{\mathcal {D}}}$을 찾을 수 있다.

사상 집합을 통한 정의

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$와 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$가 국소적으로 작은 범주라면, 이 두 범주 사이의 수반 함자

${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}\colon G}$

는 다음과 같이 정의할 수 있다. ${\displaystyle F}$와 ${\displaystyle G}$ 사이의 수반은 함자

${\displaystyle \hom _{\mathcal {D}}(F(-),-)\colon {\mathcal {\mathcal {C}}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {D}}\to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(-,G(-))\colon {\mathcal {\mathcal {C}}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {D}}\to \operatorname {Set} }$

사이의 자연 동형

${\displaystyle \Phi \colon \hom _{\mathcal {D}}(F(-),-)\Rightarrow \hom _{\mathcal {C}}(-,G(-))}$

이다.

국소적으로 작은 범주의 경우, 쌍대단위원 및 단위원을 통한 정의와 사상 집합을 통한 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 쌍대단위원 ${\displaystyle \epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id} _{\mathcal {D}}}$과 단위원 ${\displaystyle \eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\Rightarrow GF}$의 순서쌍이 주어졌을 때,

${\displaystyle \Phi _{X,Y}\colon (F(X)\xrightarrow {f} Y)\longmapsto (X\xrightarrow {\eta _{X}} GF(X)\xrightarrow {G(f)} G(Y))\qquad (X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}}),\;Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {D}}))}$

는 자연 동형을 이룬다. 반대로, 자연 동형 ${\displaystyle \Phi \colon \hom _{\mathcal {D}}(F(-),-)\Rightarrow \hom _{\mathcal {C}}(-,G(-))}$이 주어졌을 때, 항등 사상에 대응하는 사상

${\displaystyle \epsilon _{Y}=\Phi _{G(Y),Y}^{-1}(\operatorname {id} _{G(Y)})\qquad (Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {D}}))}$

${\displaystyle \eta _{X}=\Phi _{X,F(X)}(\operatorname {id} _{F(X)})\qquad (X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}}))}$

들은 ${\displaystyle F,G}$의 쌍대단위원과 단위원을 이룬다.

성질

프레이드 수반 함자 정리

다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$는
  • 완비 범주이다.
  • 국소적으로 작은 범주이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 범주이다.

프레이드 수반 함자 정리(영어: Freyd adjoint functor theorem)에 따르면, 함자 ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:121, Theorem V.6.2}

• ${\displaystyle G}$는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
• ${\displaystyle G}$는 모든 작은 극한을 보존하며, 해집합 조건을 만족시킨다.

여기서 해집합 조건(解集合條件, 영어: solution set condition)이란 다음과 같다. 임의의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 대상들의 집합 ${\displaystyle \{{\tilde {X}}_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {D}}}$ 및 사상들의 집합 ${\displaystyle \{f_{i}\colon X\to G({\tilde {X}}_{i})\}_{i\in I}}$이 존재한다.

임의의 ${\displaystyle {\tilde {Y}}\in {\mathcal {D}}}$ 및 사상 ${\displaystyle g\colon X\to G({\tilde {Y}})}$에 대하여, ${\displaystyle g=G({\tilde {g}})\circ f_{i}}$를 만족시키는 ${\displaystyle i\in I}$ 및 ${\displaystyle {\tilde {g}}\colon {\tilde {X}}_{i}\to {\tilde {Y}}}$가 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X&{\overset {g}{\to }}&G({\tilde {Y}})\\{\scriptstyle f_{i}}\downarrow &&\|\\G({\tilde {X}}_{i})&{\underset {G({\tilde {g}})}{\to }}&G({\tilde {Y}})\end{matrix}}}$

만약 실제로 어떤 수반 함자쌍

${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}\colon G}$

이 존재한다면, 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$에 대하여

${\displaystyle I=\{0\}}$

${\displaystyle {\tilde {X}}_{0}=F(X)}$

${\displaystyle f\colon X\to G(F(X))=G({\tilde {X}}_{0})}$

로 놓으면 해집합 조건이 자명하게 성립한다. 즉, 프레이드 수반 함자 정리에서 자명하지 않은 경우는 해집합 조건으로부터 왼쪽 수반 함자를 구성하는 것이다.

특수 수반 함자 정리

다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$는
  • 완비 범주이다.
  • 국소적으로 작은 범주이다.
  • 정멱 범주이다.
  • 쌍대 생성 집합을 갖는다.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 국소적으로 작은 범주이다.

특수 수반 함자 정리(영어: special adjoint functor theorem)에 따르면, 함자 ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:129, Theorem V.8.2}

• ${\displaystyle G}$는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
• ${\displaystyle G}$는 모든 작은 극한을 보존하며, 단사 사상들의 (집합이 아닐 수 있는) 모임의 당김을 보존한다.

예

자유-망각 수반

 이 부분의 본문은 자유 대상입니다.

대수 구조 다양체의 범주 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$에서, 자유 대수 함자

${\displaystyle \langle -\rangle \colon \operatorname {Set} \to {\mathcal {V}}}$

는 망각 함자

${\displaystyle |-|\colon {\mathcal {V}}\to \operatorname {Set} }$

의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

${\displaystyle \langle -\rangle \dashv |-|}$

곱-지수 수반

데카르트 닫힌 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 임의의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, 곱 함자

${\displaystyle -\times X\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle -\times X\colon Y\mapsto Y\times X}$

는 지수 대상 함자

${\displaystyle (-)^{X}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle (-)^{X}\colon Y\mapsto Y^{X}}$

의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

${\displaystyle -\times X\dashv (-)^{X}}$

집합과 함수의 범주에서의 곱-지수 수반은 커링이라고 한다.

다른 범주의 경우, 지수 대상 함자가 왼쪽 수반을 가지지만, 이 함자가 범주론적 곱이 아닌 경우가 있다. 이 경우, 왼쪽 수반은 보통 텐서곱이라고 한다. (예를 들어, 유한 차원 벡터 공간의 범주의 경우 텐서곱은 통상적인 벡터 공간의 텐서곱 ${\displaystyle \otimes }$이다.)

대각-극한 수반

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 및 범주 ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$가 주어졌고, 모든 함자 ${\displaystyle D\colon {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$의 극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 극한 함자

${\displaystyle \varprojlim \colon {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$

는 왼쪽 수반 함자

${\displaystyle \Delta \dashv \varprojlim }$

를 가진다. 이는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상을 상수 함자에 대응시킨다.

${\displaystyle \Delta \colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$

${\displaystyle \Delta \colon X\mapsto (J\mapsto X)}$

예를 들어, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 곱을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle (-)^{2}\colon {\mathcal {C}}^{2}\to {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle (-)^{2}\colon X\mapsto X\times X}$

${\displaystyle \Delta \colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{2}}$

${\displaystyle \Delta \colon X\mapsto (X,X)}$

는 서로 수반 함자를 이룬다.

${\displaystyle \Delta \dashv (-)^{2}}$

마찬가지로, 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 및 범주 ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$가 주어졌고, 모든 함자 ${\displaystyle D\colon {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$의 쌍대극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대극한 함자

${\displaystyle \varinjlim \colon {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$

는 오른쪽 수반 함자

${\displaystyle \varinjlim \dashv \Delta }$

를 가진다. 즉, 만약 해당 극한 및 쌍대극한이 동시에 존재한다면

${\displaystyle \varinjlim \dashv \Delta \dashv \varprojlim }$

가 된다.