동차좌표

사영기하학에서 동차좌표(同次座標, 영어: homogeneous coordinates)는 ${\displaystyle n}$차원 사영 공간을 ${\displaystyle n+1}$개의 좌표로 나타내는 좌표계다.

정의

${\displaystyle n}$차원 사영 공간은 다음과 같이 정의할 수 있다. ${\displaystyle X}$가 실수, 복소수, 또는 사원수의 대수라고 하고, ${\displaystyle (n+1)}$개의 수의 순서쌍의 집합 ${\displaystyle X^{n+1}}$에 다음과 같은 동치관계를 주자.

${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})\sim (\lambda x_{0},\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}$ (${\displaystyle 0\neq \lambda \in X}$)

그렇다면 ${\displaystyle n}$차원 사영 공간 ${\displaystyle XP^{n}}$을 몫공간으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle XP^{n}\cong (X^{n+1}\setminus 0)/{\sim }}$

이 경우, ${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})}$을 ${\displaystyle XP^{n}}$의 동차좌표라고 한다.

성질

동차좌표는 유일하지 않다. 즉, ${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})}$과 ${\displaystyle (\lambda x_{0},\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}$은 사영 공간에서 같은 점을 나타낸다. 다음과 같이

${\displaystyle t_{i}=x_{n}/x_{0}}$ (${\displaystyle 1\leq i\leq n}$)

을 정의하여 ${\displaystyle n}$차원 사영 공간을 ${\displaystyle n}$개의 좌표로 나타내려 할 수 있지만, 이 경우 ${\displaystyle x_{0}=0}$인 점들을 나타내지 못한다.

동차좌표는 유일하지 않으므로, 사영 공간 위에 ${\displaystyle f(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=0}$과 같은 곡면을 정의하려면, ${\displaystyle f}$는 같은 점을 나타내는 동차좌표들에 대하여 다음을 만족하여야 한다.

• ${\displaystyle f(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=0}$이라면, 모든 ${\displaystyle \lambda \neq 0}$에 대하여 ${\displaystyle f(\lambda x_{0},\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=0}$
• ${\displaystyle f(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})\neq 0}$이라면, 모든 ${\displaystyle \lambda \neq 0}$에 대하여 ${\displaystyle f(\lambda x_{0},\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})\neq 0}$

만약 ${\displaystyle f}$가 다항함수라면, ${\displaystyle f}$는 동차다항식이어야 한다. 즉, 예를 들어

${\displaystyle f_{1}(x_{0},x_{1})=x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}x_{1}-x_{0}x_{1}^{2}+2x_{1}^{3}}$

는 동차다항식이므로 사영 공간 위에 곡면 ${\displaystyle f_{1}=0}$을 정의할 수 있지만,

${\displaystyle f_{2}(x_{0},x_{1})=x_{0}^{2}+3x_{0}^{2}x_{1}-x_{0}x_{1}^{2}+2x_{1}^{3}}$

는 동차다항식이 아니므로 곡면 ${\displaystyle f_{2}=0}$을 정의할 수 없다.

역사

아우구스트 페르디난트 뫼비우스가 1827년에 도입하였다.^[1][2]