두 점 사이의 거리

기하학에서 두 점 사이의 거리는 좌표평면에서 임의의 두 점 ${\displaystyle P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})}$을 예약하고,^[1]

점 ${\displaystyle P(x_{1},y_{1})}$에서 ${\displaystyle x}$축에 평행하게 그은 직선과 점 ${\displaystyle Q(x_{2},y_{2})}$에서 ${\displaystyle y}$축에 평행하게 그은 직선이 서로 만나는 점 ${\displaystyle O}$을 예약할 수 있다.

두 점 ${\displaystyle P,Q}$ 사이의 거리를 ${\displaystyle l}$이라고 가정했을때,

${\displaystyle \triangle OPQ}$는 ${\displaystyle l}$을 빗변으로 하는 직각삼각형이고, ${\displaystyle {\overline {OP}}=x_{2}-x_{1}\;,\;{\overline {OQ}}=y_{2}-y_{1}}$이므로,

${\displaystyle l^{2},l,{\overline {OP}},{\overline {OQ}}}$은 피타고라스 정리에 의해 다음과 같은 관계가 있다.

${\displaystyle l^{2}={\overline {OP}}^{2}+{\overline {OQ}}^{2}}$

${\displaystyle l^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

${\displaystyle l={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$

따라서,

좌표평면에서 두 점 ${\displaystyle P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})}$가 있을 때 두 점 사이의 거리 ${\displaystyle l}$은 다음과 같다.

${\displaystyle l={\sqrt {({x_{2}}-{x_{1}})^{2}+({y_{2}}-{y_{1}})^{2}}}}$

삼각함수의 덧셈정리

원과 그 원의 중심점에 한점을 두는 삼각형을 예약하고,[2] 두 점 사이의 거리에서, ${\displaystyle l={\sqrt {({x_{2}}-{x_{1}})^{2}+({y_{2}}-{y_{1}})^{2}}}}$이므로, ${\displaystyle P=(cos\;\alpha ,sin\;\alpha )\;\;,\;\;Q=(cos\beta ,sin\beta )}$ ${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=(cos\beta -cos\;\alpha )^{2}+(sin\beta -sin\;\alpha )^{2}}$ ${\displaystyle =\left((cos\beta -cos\;\alpha )\cdot (cos\beta -cos\;\alpha )\right)+\left((sin\beta -sin\;\alpha )\cdot (-sin\beta -sin\;\alpha )\right)}$ ${\displaystyle =\left((cos\beta )^{2}-2cos\alpha cos\beta +(cos\;\alpha )^{2}\right)+\left((sin\beta )^{2}-2sin\alpha sin\beta +(sin\alpha )^{2}\right)}$ ${\displaystyle =(cos\beta )^{2}+(cos\;\alpha )^{2}+(sin\beta )^{2}+(sin\alpha )^{2}-2cos\alpha cos\beta -2sin\alpha sin\beta }$ ${\displaystyle =(cos^{2}\beta +cos\;\alpha ^{2})+(sin^{2}\beta +sin^{2}\alpha )-2\left(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \right)}$ 그리고 삼각 함수 항등식의 피타고라스 정리에서, ${\displaystyle \sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}=1}$ 따라서, ${\displaystyle =1+1-2\left(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \right)}$ ${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2-2\left(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \right)}$

한편,

이것은, 제2코사인법칙에서

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}={\overline {OP}}^{2}+{\overline {OQ}}^{2}-2\left({\overline {OP}}\cdot {{\overline {OQ}}cos(\alpha -\beta )}\right)}$

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=1^{2}+1^{2}-2\left(1\cdot {1cos(\alpha -\beta )}\right)}$

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2-2\left({cos(\alpha -\beta )}\right)}$

그리고

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2-2\left({cos(\alpha -\beta )}\right)=2-2\left(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \right)}$

${\displaystyle cos\left({\alpha -\beta }\right)=\left(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \right)}$

삼각함수의 덧셈정리이다.

같이 보기

• 거리공간
• 선분
• 제2코사인법칙
• 삼각함수
• 지리좌표 거리