둔각삼각형

기하학에서 둔각삼각형(鈍角三角形)은 한 각의 크기가 둔각, 즉 90도를 넘는 각인 삼각형을 말한다. 둔각삼각형에서 나머지 두 각의 합은 90도보다 작다. 둔각삼각형 중에서 두변의 길이가 같은 둔각삼각형을 둔각이등변삼각형이라고 부른다.

둔각삼각형

코사인법칙

둔각삼각형이 보여주는 제2코사인법칙 ^[1]

유클리드 원론 2권 법칙12에서 ${\displaystyle ,\;{\overline {AB}}}$에서 임의의 한점 ${\displaystyle C}$에 대해서 ${\displaystyle {\overline {AH}}={\overline {CB}}={\overline {BI}}}$이고, ${\displaystyle {\overline {AC}}={\overline {EF}}={\overline {EH}}}$이므로, ${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+2\left({\overline {AC}}\cdot {\overline {BC}}\right)}$

따라서,

유클리드 원론 2권 법칙4 에서, 둔각삼각형 ${\displaystyle \triangle {ABC}}$에서${\displaystyle ,\;{\overline {BD}}}$의 임의의 한점 ${\displaystyle C}$에 대해서 ${\displaystyle {\overline {BD}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}\;\;}$ 그리고, ${\displaystyle {\overline {AC}}^{2}={\overline {CD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}\;\;}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}^{2}-{\overline {CD}}^{2}={\overline {AD}}^{2}\;\;}$ 따라서, ${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}=\left({\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)\right)+\left({\overline {AC}}^{2}-{\overline {CD}}^{2}\right)}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)}$

그리고

${\displaystyle cos(\pi -\alpha )={{\overline {CD}} \over {\overline {AC}}}}$ ${\displaystyle {\overline {CD}}={\overline {AC}}cos(\pi -\alpha )}$ ${\displaystyle {\overline {CD}}=-{\overline {AC}}cos\alpha }$ 따라서, ${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}-2\left({\overline {BC}}\cdot {{\overline {AC}}cos\alpha }\right)}$ ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha }$

이것은 제2코사인법칙이 되겠다.

같이 보기

• 삼각형
• 예각삼각형
• 직각삼각형
• 두 점 사이의 거리